张晓永，王 勇，陈 峰

(驻焦作地区军事代表室，焦作 454001)

1 中频信号的噪声频域统计特性

经长时间的大量观察，LFMCW 雷达混频器输出的噪声是窄带的零均值高斯噪声(图1 为中频噪声的采样样本)，其概率密度由式(1)给出［1］。

此处，p(ε)dε 是噪声电压处于ε 和ε +dε 之间的概率;σ2是噪声方差，噪声的均值为零。对于连续波雷达回波而言，由于采取了去调频(两路具有相同调频斜率与扫频带宽的信号进行混频输出)的处理方式，目标的信息完全包含于其回波的频率之中，因此，探测门限须在频域进行设置。

由图1 可以看出，中频噪声基本服从均值为零的正态分布，为分析方便，本文采用正态分布模型来描述中频噪声。由于噪声在频域中分布也具有随机性，即在频域中，噪声中的某一频率的幅度不是恒定不变的，是具有随机性的。这一点可以由以下分析得出。

不失一般性，设中频输出的噪声为平稳高斯过程［2］(样本函数的统计平均可用其时间平均代替)，在混频器输出仅有噪声存在的情况下，对中频信号采样并抽取长度为N1的序列。对高斯噪声采样序列noise(n)进行离散傅立叶变换，变换如下［3］:

式中m=0，1，…，N1-1。

图1 中频噪声的一次采样时域图及正态拟合曲线

显然R(m)，I(m)为高斯序列的线性组合，因此，R(m)，I(m)仍为高斯分布的序列。因高斯分布的概率密度函数由其均值与方差决定。下面求解R(m)，I(m)的均值与方差。

R(m)与I(m)的协方差为:

对于两个高斯分布，其相关系数为0 与这两个高斯分布相互独立是等价的［4］。由此可得出结论①:R(m)与I(m)为两个相互独立并服从同一高斯分布。即NOISE(m)(m =0，1，…，N1-1)的实部 R (m)与虚部 I (m)独立并服从同一高斯分布

在频域中对信号进行检测，要对中频采样序列的DFT 结果取模，然后进行过门限检测。因此，有必要求解(或的分布(或等价分布)。

至此，中频信号中的噪声频域统计特性数学模型建立完毕。对于门限检测，两个比较重要的指标是虚警概率与探测概率。对于本系统，其虚警概率主要由噪声的频域统计特性以及探测门限决定，下面将推导频域探测门限与虚警概率之间的关系。

2 探测门限与虚警概率的关系

虚警概率Pfa是指在没有信号仅有噪声时，发生因噪声引起电平超过探测门限值被误认为信号的事件的概率。显然，它与噪声的频域统计特性、噪声功率以及门限电平的大小密切相关。下面定量地分析它们之间的关系。在推导探测门限与虚警概率关系之前，先介绍一下正确不发现概率:不存在目标判为无目标，称之为正确不发现，它的概率称为正确不发现概率Pan。

设频域探测门限为Q，由于实际处理过程中，会将信号的离散傅立叶变换结果取模，由结论②可知，对于特定的k0，正确不发现的概率Pan(m0)可由χ2(2)分布求得，即:Pan(m0)=P(0≤

因此，总的虚警概率为

如图2 所示为N1=1 024 时，虚警概率随探测门限的变化曲线。可以看到，随着探测门限的提高，虚警概率不断的减小，当探测门限Q ＞40σ 时，Pfa迅速下降，这种性质是由χ2(2)分布决定的。

图2 虚警概率随探测门限的变化曲线

另外不难看出，当探测门限与噪声功率一定情况下，虚警概率随N1的增加而增大，这是因为N1的增加，带来了更多可引起虚警的“机会”。

3 探测门限与发现概率pd 的关系

探测概率(发现概率)是指目标存在时，判断为有目标的概率。对于调频连续波激光雷达探测单目标时，可以抽象为单频正弦信号加高斯噪声的中频信号的发现概率pd。

设N1点的中频信号序列为:

设x(n)，sIF(n)与noise(n)经DFT 后得到的序列分别为X(m)，SIF(m)与NOISE(m);假设某一ms恰使得为小于N1的正整数)。因此，正确发现目标的事件就是超过预设的探测门限Q。由于NOISE(m)经N 点DFT的结果已经分析，现分析SIF(ms)。

令

由1 节关于NOISE(m)的假设可有:

由式(11)并结合结论①可得出结论③:R(mS)+RS(mS)服从服从分布，并且两者相互独立。

正确发现目标的概率可表示为如下形式:pd= P(Q ≤

从结论④中可以得出探测概率的表达式为

由统计知识可知，分布函数ncx2cdf(x，δ)具有一条重要的性质:ncx2cdf(x，δ)随x 的减小或δ 增大而减小。由此可得出以下四点结论:

第一，在噪声方差、数据长度、探测门限一定的情况下，探测概率随中频信号的信噪比的增加而增大，此时的探测概率完全取决于SNR。如图3 所示为当N1=512，Q =150σ 时，探测概率随中频信号的信噪比变化曲线。

图3 探测概率随中频信号SNR 的变化曲线

第二，随着N1的增大增大，因此，当探测门限与中频信号的信噪比不变时，探测概率将会随着N1的增加而增大。

第三，在探测门限不变的情况下，当中频信号的信噪比较小时，可以通过增加N1的方法以保证雷达的探测概率。

第四，当噪声方差、中频信号的信噪比、N1一定时，探测概率随探测门限的增加而减小。

至此LFMCW 激光雷达门限检测数学模型已经建立完毕。

4 结束语

文章针对噪声在时域和频域中的统计特性，推导了噪声功率与虚警概率的关系，同时确立了LFMCW 雷达中频信噪比与探测概率的函数关系，在此基础上建立了LFMCW 雷达的频域检过门限检测模型，该模型可为LFMCW 雷达产品定型提供理论参考。

［1］丁鹭飞，耿富录.雷达原理［M］.西安:西安电子科技大学出版社，2006.

［2］刘次华.随机过程［M］.武汉:华中科技大学出版社，2001.

［3］胡广书.数字信号处理［M］.北京:清华大学出版社，2007.

［4］盛聚，谢式千，潘承毅.［M］.北京:高等教育出版社，1997.

［5］李立众.几个具有非中心参数的统计量的分布［J］.安徽机电学院学报，1999，14(3):54 -58.

［6］陈希孺.数理统计引论［M］.北京:科学出版社，1981.