陈美霞，牟彬杰，魏建辉，张晓宇

（华中科技大学 船舶与海洋工程学院，武汉 430074）

双层圆柱壳内外壳振动与声辐射相似性研究

陈美霞，牟彬杰，魏建辉，张晓宇

（华中科技大学 船舶与海洋工程学院，武汉 430074）

文章基于有限元/边界元方法计算了双层圆柱壳空气中的固有模态以及在水下激励力作用下的振动与声辐射响应，分析了内外壳振型的相似性，提出用相似性系数来描述振型的相似程度。最后分析了不同轴向位置处的内外壳响应相似程度，得出了一些结论：双层壳内外壳具有很强的相似性；实肋板处的相似性更好。本文为潜艇实验测点布置位置的研究提供了一定的理论根据，具有一定的实用价值。

双层圆柱壳；模态；振动；声辐射；相似性

牟彬杰（1987-），男，硕士研究生，Email：21381495@qq.com。

1 引 言

双层圆柱壳是潜艇舱段结构的主要结构形式，研究其在水下激励力作用下的振动与声辐射特性具有重大意义。对于中、低频范围内的圆柱壳振动与声辐射问题，陈美霞、骆东平等[1-4]研究了敷设阻尼材料以及壳间连接形式对圆柱壳体的声辐射性能的影响；商德江、何祚镛[5]利用有限元软件Ansys和边界元软件Sysnoise对双层加肋圆柱壳的水下受激振动与声辐射作了数值分析研究；张阿漫、姚熊亮[6]等用有限元结合边界元的方法研究了结构形式对圆柱壳振动与声辐射特性的影响。陈美霞、金家坤[7]等用解析法研究了不同连接形式下双层壳内外壳的声振响应。在进行潜艇实验时，壳体的振动和噪声信号主要是通过布置在壳体上的传感器来获得，如何确定传感器的布置位置和数量是潜艇实验中必须解决的关键问题之一。贺云南、何琳[8]对美法海军提出的传感器均匀布置方法进行了理论分析，结果表明噪声测量系统传感器均匀布置能够满足有限元理论要求。

本文选用了一个典型的有限长双层圆柱壳模型，采用有限元结合边界元的方法计算了水下双层圆柱壳在激励力作用下的振动与声辐射特性，分析了内外壳的固有模态、声振响应的相似性，得出了一些结论，从而可指导潜艇实验的传感器布置，具有一定的工程使用价值。

2 基本理论

2.1 有限元理论

结构振动的有限元方程为：

式中：M、C和K分别为结构的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵；u¨、u˙和u分别为结构节点的加速度向量、速度向量和位移向量；F为作用在节点上的载荷向量。一旦有限元模型和边界条件给定，则参数M、C和K就唯一确定，那么在给定外力F后，就可以求解出结构各节点上的加速度向量，速度向量和位移向量。

2.2 边界元理论

对于单频声场，Helmholtz积分方程为[9]：

将方程（2）在积分边界上离散化，将场点定义在边界上，其位置向量为rp，那么就可以建立起边界条件与未知主要变量的关系，则可以得到直接边界元法的声学方程[10]：

式中：A（ω ），B（ω）为影响矩阵。

2.3 模态振型相似性理论

根据模态理论，结构任意频率下的响应可用结构模态和模态参与因子线性表示[11]：

其中，q为响应值，φi为第i阶模态振型，li为第i阶模态的参与系数。

在中低频段，由于两层壳体之间的耦合作用，两层壳体的运动是一致的、整体性的，如果将双层圆柱壳内外壳体的响应分别记为q内和q外，对应地将各阶模态振型按内壳和外壳分开表示，则响应可以表示为：

对于内外壳体的响应来说，同一模态的参与因子是一样的，因此内壳和外壳响应间的关系主要由对响应起主要贡献的模态对应的内壳和外壳间的振型关系决定。

因此，如果对内外壳响应起控制作用的模态振型很相似，那么内外壳的振动与声辐射响应也会很相似。为了量化内外壳振型的相似程度，便于更好地说明问题，本文提出了振型相似性系数：

式中，φ内是内壳的振型向量，φ外是外壳的振型向量，φ内和φ外都是一个3n*1的列向量，n是节点个数，φ内和φ外做内积的时候对应的节点必须是轴向、周向相同位置的节点，对应节点的位移向量按照x、y、z的顺序进行排列。

内外壳振型相似性系数可以直观地定量判断内外壳振型相似性，β越大，说明内外壳振型的相似性越好。

为了说明相似性系数的可行性，下面将结合算例进行说明。

图1 双层圆柱壳Fig.1 Double cylinder

3 算例分析

3.1 计算模型

计算模型为双层圆柱壳，如图1。

几何参数为：R1=3.5 m，h1=0.028 m，l1=0.6 m，R2=4.3 m，h2=0.01 m，l2=1.2 m，L=9.6 m。

壳体、环肋和纵骨材料相同，其弹性模量为2.1e+11 N/m2，泊松比为 0.3，密度为 7 850 kg/m3，损耗因子为0.01。流体的密度为1 000 kg/m3，声速度为1 500 m/s。

有限元模型如图2所示（由于对称性只取一半模型）

3.2 空气中模态分析

首先在Ansys中对该模型进行了空气中的模态分析，计算了前1 000阶固有频率，列出前10阶模态的固有频率及振型如表1所示。

图2 双层圆柱壳有限元模型Fig.2 Finite element model of double cylinder

表1 空气中前10阶模态Tab.1 The first 10 modes in the air

图3 内外壳空气中模态云图Fig.3 Modal fringe of the inner and outer shells in the air

给出其中具有代表性意义的第1和第9阶模态的内外壳模态云图如图3所示。

从图3中可以看到，第1阶整体模态内外壳振型具有良好的相似性，而第9阶实肋板局部模态内外壳振型相似性不好。初步判断，整体模态的内外壳振型相似性要比局部模态的相似性更好。

3.3 内外壳振型相似性

从图3（a）中可以看到，整体模态内外壳振型十分相似，但是云图只能定性地反映内外壳的相似性，而相似性系数能定量地反映内外壳的相似程度。编程计算了前100阶模态内外壳振型相似性系数如表2及图4所示。

图4 前100阶模态相似性系数Fig.4 The similarity coefficients of the first 100 modes

表2 前20阶模态相似性系数Tab.2 The similarity coefficients of the first 20 modes

从图4可以看到，前100阶模态除了前几阶整体模态的相似性系数很大而外，曲线在第72阶模态处也出现峰值，相似性系数为β72=0.98。提取第72阶模态的内外壳振型云图如图5所示。

图5 第72阶模态云图Fig.5 The 72nd modal fringe

由图5可以看出，第72阶模态内外壳振型呈现整体振动的形式，说明内外壳出现整体振动模态时，相似程度很高，相似性系数很大。而其余的模态相似性系数都很小甚至为负值，这是因为在这些模态内外壳上出现局部振动，甚至有内外壳振动位移方向相反的情况。

由此可知，相似性系数β可以很好地反映内外壳振动的相似程度。相似性系数大的均为内外壳的整体模态，相似性系数小的均为壳体的局部模态，相似性系数为正值说明内外壳振动位移为同相；相似性系数为负值说明内外壳振动位移为反相。

3.4 内外壳响应相似性

计算模型如3.1所示，在Sysnoise中建立结构有限元与间接边界元的耦合模型，将3.2计算得到的1 000阶空气中模态导入有限元模型中，将边界元模型的流体属性定义为水的属性，在内壳L/2处施加径向点力，计算得到双层壳的振动响应，然后从有限元模型中提取出内、外壳体的振动响应，然后分别以内壳体、外壳体作为辐射面建立直接边界元模型，最后将提取得到的振动响应作为辐射边界条件，计算得到内、外壳体水下的均方振速及辐射声功率如图6所示。

图6 内外壳振动声辐射曲线Fig.6 The curve of vibration and sound radiation of the inner and outer shells

从均方振速曲线上可以看到，整个频段，两条曲线峰值出现的位置基本相同，但外壳振动比内壳振动峰值更多。在40 Hz以下的频段，内外壳振动曲线基本一致。内壳体振动比外壳体略大，这是因为激励力作用点在内壳。40 Hz以上的频段，随着频率升高，两均方振速曲线开始分离，差距变大。

而从辐射声功率曲线上可以看到，整个频段，两条曲线峰值出现的位置基本相同，两条曲线呈现相同的变化规律。在30 Hz以下的频段，外壳的辐射声功率略大30 Hz以上，内壳的辐射声功率略大。

分析一个典型频率下内外壳振动的相似性，由图 6（a）可知，21 Hz时，两条曲线几乎在同一位置。

在Sysnoise中提取结构振动响应在21 Hz时对应的各阶模态参与因子见图7。由于后面模态影响很小，只显示了前800阶模态的模态参与因子。

从模态参与因子上可以看出，对21 Hz结构响应起主要控制作用的前5阶模态及对应的模态参与因子为：第 1 阶（5.2E-7），第 692 阶（8E-8），第 3 阶（3.1E-8），第 5 阶（2.3E-8），第7 阶（2.1E-8）。

提取这5阶模态振型，内外壳都呈现整体振动的形态，计算得其相似性系数皆大于0.9。

再分析一个中高频率，由图6（a），两条曲线在89 Hz处差5个dB，提取结构振动响应在89 Hz时对应的各阶模态参与因子如图8。

从模态参与因子上可以看出，对89 Hz结构响应起主要控制作用的前5阶模态及对应的模态参与因子为：第 592 阶（9.4E-8），第 561 阶（7.2E-8）， 第 635 阶 （5.4E-8）， 第 65 阶（5.1E-8），第 48 阶（3.8E-8）。

提取这5阶模态振型，内外壳振型都呈现局部振动的形态，相似性系数都小于0.4。

说明低频段的振动响应主要由前几阶内外壳相似性系数较高的整体模态来控制，所以低频段内外壳的响应曲线很相似，而随着频率升高，参与主要控制的局部模态增多，因此两条曲线就逐渐分离。

这表明，在低频段用内壳振动来代替外壳振动预报声辐射是可行的。

图7 21 Hz时各阶模态参与因子Fig.7 Modal participation factor at 21 Hz

图8 89 Hz时各阶模态参与因子Fig.8 Participation factor of every mode at 89 Hz

4 实验测点布置的研究

前面已经说明了在进行潜艇噪声测量的实验时测点布置在内壳是可行的，并且提出了内外壳振型相似性系数β。本章在此基础上，研究测点布置在肋位，肋中等时的内外壳振动响应的相似性。

计算模型、工况及边界条件与第3章相同，分别提取出内外壳对应位置处节点的振动响应，编写程序计算内外壳不同轴向位置处振动响应的相似性系数α：

式中：ψ内是内壳振动点的振动位移向量，ψ外是外壳振动点的振动位移向量，ψ内和ψ外都是一个3n*1的列向量，n是节点个数，ψ内和ψ外做内积的时候对应的节点必须是内外壳轴向、周向相同位置的两个节点，对应节点的位移向量按照x，y，z的顺序进行排列。

本章计算了5圈（一圈表示一整个圆周上的点）不同轴向位置的节点振动响应的相似性系数，节点位置如图9所示，相似性系数如图10所示。

图9中ai为外壳上的一圈节点，bi为内壳上的一圈节点，aibi为第i组对应节点，其中i=1，2，3，4，5。第1组和第5组节点位于肋位处，激励力加在内壳b1处，第2、3、4组节点在两个肋位之间等间距分布。

由图10可知，第1组和第5组的相似性系数比第2、3、4组的相似性系数大很多。由此可以得出：肋位处内外壳的振动相似性要比肋中好，肋位处实肋板的连接作用增强了内外壳振动的相似性。

所以，在布置测点的时候，应优先考虑布置在肋位处。

图9 不同轴向位置的节点Fig.9 The nodes at various axial positions

图10 不同轴向位置处内外壳振动响应相似性系数Fig.10 The similarity coefficients of vibration of the inner and outer shells at various axial positions

5 结 论

本文通过对水下双层圆柱壳内外壳模态

振型以及振动声辐射响应相似性进行了分析计算，提出用相似性系数来描述内外壳相似的程度，并在此基础上证明了用内壳振动响应来预报外场辐射声的可行性，为潜艇实验测点布置提供了一定的理论依据。本文得到的结论主要有以下几点：

（1）双层圆柱壳的内外壳整体模态振型的相似性很好，相似性系数β在0.9以上，其余的局部模态的内外壳相似性不好，β在0.4以下，β为负值的模态表示内外壳振动方向相反。

（2）内外壳体分别的振动和声辐射响应曲线在中低频段很相似，随着频率升高，两条曲线分离，但仍具有相似的变化规律。这是因为中低频段的响应主要由前几阶整体模态控制，而这些整体模态的相似性系数都在0.9以上，因此内外壳的响应也很接近。高频部分的响应主要由高阶的局部模态控制，这些局部模态的相似性系数都在0.4以下，因此内外壳的响应曲线分离。

（3）在中低频段，进行潜艇噪声测量时测点布置在内壳是可行的。并且，测点应优先考虑布置在实肋板或托板所在肋位上。

[1]陈美霞,骆东平,杨叔子.壳间连接形式对双层壳声辐射性能的影响[J].振动与冲击,2005,24(5):77-80.

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[5]商德江,何祚镛.加肋双层圆柱壳振动声辐射数值计算分析[J].声学学报,2001,26(3):193-201.

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[10]Sysnoise Rev5.6 User Manual[K].LMS.international.

[11]傅志方,华宏星.模态分析理论与应用[M].上海:上海交通大学出版社,2000.

Analysis of the vibration and sound radiation similarity between inner and outer shells of double cylindrical shell

CHEN Mei-xia,MOU Bin-jie,WEI Jian-hui,ZHANG Xiao-yu

(College of Naval Architecture and Ocean Engineering,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan 430074,China)

FEM/BEM is used to analyze intrinsic modes in air and vibration and sound radiation of the double cylindrical shell in water under force excited state.The similarity coefficient is proposed to describe the similarity between inner and outer shells of double cylindrical shell.Finally,the similarity coefficient between inner and outer shells of double cylindrical shell at various axial positions is analyzed and calculated,and some useful conclusions are drawn:there is a good similarity between inner and outer shells of double cylindrical shell,the similarity at the position of solid floors is better than others.This paper provides some theoretical basis for arranging measuring-point in submarine experiment,which has a certain practical value.

double cylindrical shell;mode;vibration;sound radiation;similarity

TB532

A

1007-7294（2012）11-1329-08

2012-02-01基金资助：国家自然科学基金资助项目（50805055）；华中科技大学自主创新研究基金资助项目（2012QN056）作者简介：陈美霞（1975-），女，华中科技大学船舶与海洋工程学院副教授，Email：chenmx26@163.com；