冯昌林，王德石，朱拥勇

（海军工程大学 兵器工程系，武汉430033）

过渡过程中万向铰传动偏斜轴系的横向振动分析

冯昌林，王德石，朱拥勇

（海军工程大学 兵器工程系，武汉430033）

研究了万向铰传动偏斜轴系在过渡过程中的横向振动问题。将从动轴处理为刚性轴，用一对欧拉角表示从动轴的横向振动角位移，在建立系统运动坐标系的基础上，得到万向铰的传递力矩，将支撑轴承处理为一对正交的弹簧－阻尼器系统，利用改进的欧拉方程推导出过渡过程中万向铰传动偏斜轴系的横向振动模型。对模型进行数值仿真，分析主动轴角加速度对振动响应的影响。结果表明：万向铰传递力矩引起系统的自激振动和参数振动，而万向铰结构偏斜和误差偏斜的存在，既能直接影响从动轴所受弯曲力矩的大小，还能引起系统的强迫振动。主动轴角加速度的变化影响系统的稳定性，角加速度越大，经过相同时间后，从动轴振动幅度变得越小。研究工作对进一步确定万向铰传动偏斜轴系的过渡过程运动稳定性具有重要的意义。

万向铰；横向振动；偏斜轴系；过渡过程

1 引 言

偏斜轴系的振动问题是航行体动力学领域中一个重要的研究内容。考虑用万向铰（万向联轴器）运动约束描述一类轴系的偏斜。由于万向铰的运动传输特性，即使在主动轴转速和输入力矩恒定的定常工况下，从动轴依然表现出波动的转速，承受波动的传递弯矩和轴向转矩的作用，从而引起轴系的非线性振动。而在过渡过程中，轴系加（减）速的运动冲击作用将使振动呈现更加复杂的特性。本文旨在研究变工况条件下过渡过程中万向铰传动偏斜轴系的瞬态横向振动问题。

早在20世纪40年代，《Machine Design》刊物中就基于实验数据给出了万向铰引起的速度、加速度波动表达式[1]，为了避免万向铰带来的轴速波动问题，现行机械设计手册中也制定了相应的设计与使用规范，并且指出，可以利用等角度平行或相交的双铰布置方案消除速度波动，即使这样，万向铰的存在仍然使得轴系的振动问题难以避免。1958年，Rosenberg[2]就曾采取具有集中转子质量的均匀无质量弹性轴模型对万向铰传动的旋转轴的横向振动稳定性进行过研究，得到了偏斜角导致的各种亚临界失稳条件，研究成果至今仍得到学术界的普遍重视。结果同时表明，振动的稳定性依赖于传递力矩的幅度。Iwatsubo和Saigo[3]一起，研究了弹性支撑下的有非跟随力矩作用的刚性轴，将几何约束处理为零偏斜角度，即类似于直轴，而考虑万向铰约束下的运动波动，给出了力矩表达式，发现了参数失稳和颤振型失稳；并在广义坐标的选择方法上，给出了万向铰驱动轴横向振动的Euler坐标描述方法。与此同时，Ota等[4-5]发表的研究报告中，导出了万向铰约束中的波动力（力矩），研究了约束激励下的横向强迫振动机理与规律，给出了特征参数的实验研究结果。其后，又进一步考虑了摩擦，将轴系中的从动轴考虑为无质量、偏心且对称的转子，将轴柔性处理为集中刚度，研究了参数共振问题，得到了当主轴转速接近于扭转、或者横向固有频率的偶数倍时，产生参数共振。1997年，Saigo等[7]进一步研究了多刚性轴、多铰系统，忽略了角速度波动，而注重考察摩擦，研究指出，诸多铰中一个铰中的摩擦就能导致不稳定运动；该研究在数学模型上避开了系统的时变特性，故无法处理参数激励的稳定性问题。尽管由于研究过程中做了较多假设，但还存在进一步的待研究空间，而Rosenberg和Iwatsubo的工作，仍然是研究万向铰驱动轴系横向振动与稳定性的经典成果，对本文的模型研究也具有参考价值。

本文将研究万向铰传动的刚性旋转轴在过渡过程中的瞬态横向振动问题。建立偏斜轴系上的一组坐标系，推导万向铰传动的传递力矩和从动轴端的轴承力矩，利用刚性体的欧拉旋转运动方程建立万向铰传动偏斜轴的运动方程，取方程的一次近似进行横向振动分析，并进行数值仿真。

2 模型描述

取单万向铰传动的偏斜轴系，系统包括主动轴、从动轴和万向铰十字轴。主动轴的极向转动惯量为J1，从动轴的横向转动惯量为JL，η为从动轴的极向转动惯量和横向转动惯量的比值，万向铰的结构偏斜角为φ，误差偏斜角为β、γ，从动轴横向振动的角位移为βL、γL。分别建立主动轴上的固定坐标系X0Y0Z0，十字轴上的固定坐标系XYZ，理想从动轴上的固定坐标系x0y0z0，实际从动轴上的固定坐标系xyz和振动后从动轴上的运动坐标系x2y2z2，如图1所示。同一点在x2y2z2坐标系和在XYZ坐标系下的坐标变换关系如下：

图1 万向铰系统坐标系Fig.1 Reference frames of U-joint system

3 力矩分析

本文研究偏斜轴系的横向振动，因此忽略从动轴的扭转弹性，从动轴受到的外力主要包括两部分。第一部分是万向铰十字架作用在从动轴上的力，这些力共同产生的合力矩就是主动轴输入力矩通过万向铰传递到从动轴上的力矩；第二部分是轴承处的弹簧力和阻尼力，分别对从动轴作用产生弹簧力矩和阻尼力矩。

首先计算万向铰传递力矩。记主动轴输入力矩为T0，主动轴角加速度为α，若不考虑十字轴的质量以及十字轴与轴叉之间的摩擦，则主动轴通过轴叉作用于十字轴上的力矩与十字轴通过轴叉作用在从动轴上的力矩相等，而且传递到从动轴上的力矩作用在十字轴平面的法线方向。计及振动角βL和γL，应用矢量投影和坐标变换，考虑小角度偏斜及小振动情况，将三角函数展成幂级数形式并忽略高阶项后有 cosφ≈cos β≈cosγ≈cos βL≈cosγL≈1，sinφ≈φ，sin β≈β，sinγ≈γ，sin βL≈βL和 sinγL≈γL，忽略高次项后可得万向铰传递力矩的线性化近似如下：

下面计算轴承端的弹簧力矩和阻尼力矩。从动轴一端与万向铰相连，另一端由轴承支撑。将轴承处理为互相垂直的两对弹簧与阻尼器，如图2所示，其中沿x2轴方向弹簧刚度系数为Kx2、阻尼器阻尼系数为Cx2，沿y2轴方向弹簧刚度系数为Ky2、阻尼器阻尼系数为Cy2。这样，轴承力矩就转化为由弹力与阻尼力产生的力矩，而由弹力与阻尼力产生的力矩主要取决于从动轴末端的位移，即从动轴的变形。如图3所示，未变形时，从动轴向量OA为l→=lk；产生横向振动后，从动轴形变而引起向量O>⇀A变化为l→2=lk2；从而，从动轴形变为d→=l→2-l→。

通过运算和简化可得弹簧力矩和阻尼力矩在运动坐标系x2y2z2中的分量表达式为：

图2 轴承的弹簧—阻尼器模型Fig.2 The spring-damping model of bearing

图3 从动轴的形变Fig.3 The deflection of driven shaft

4 运动方程建立

万向铰传动偏斜轴系的横向振动可以看成是从动轴绕坐标原点O（万向铰十字轴的中心）的转动。假定Jx2、Jy2和Jz2分别为从动轴绕运动坐标系x2y2z2中Ox2、Oy2和Oz2轴的转动惯量，利用改进的从动轴绕原点O转动的普遍运动微分方程（即欧拉方程），就可以建立该万向铰传动的从动轴的运动方程：

将（2）、（3）、（4）式和（7）式代入（5）式和（6）式可得：

将方程（8）和（9）化为无量纲形式，并写成矩阵形式如下：

方程（10）左边第二项的系数矩阵为阻尼矩阵，阻尼矩阵中的元素有的是常数，由系统参数决定，有的是变量，与无量纲时间τ有关；左边第三项的系数矩阵为刚度矩阵，刚度矩阵是常数矩阵，只与系统参数有关；左边第四项不含无量纲时间τ的函数，仅与横向振动本身有关，故它能引起系统的自激振动，产生颤振型失稳；左边第五项和第六项含有无量纲时间τ的正弦、余弦函数，作为参数激励，能引起系统的参数共振；方程右边为强迫振动项，它能引起系统的强迫共振，其中右边第一项是由万向铰结构偏斜引起的，右边第二项是表示万向铰误差偏斜对万向铰驱动的偏斜轴系横向振动的影响。方程左边第四、五、六项及右边项都含有从动轴受到的弯曲力矩，它们均与主动轴输入力矩T0和主动轴角加速度α有关，是对由万向铰传递力矩引起从动轴横向振动的定量描述，可见，对于万向铰驱动的偏斜轴系横向振动问题，万向铰传递力矩不仅能引起系统的自激振动，还能引起系统的参数振动。

5 模型数值仿真

取一组实验模型参数：l=0.46 m，从动轴密度ρ=7.83×103kg/m3，从动轴横截面半经R=2.40×10-3m，n=3.96×10-5，T0=0.3 N·m，Kx2=Ky2=7.740 N/m，Cx2=Cy2=1×10-3N/（m/s），则 JL=πρR2l3/3=4.597×103kg·m2。由文献[8]可知，当万向铰偏斜角较小时，从动轴的角速度波动很小，因此这里忽略从动轴的角速度波动，即p（τ）=1，取偏斜角 φ=5°=0.087 3 rad，β=γ=1°=0.017 5 rad，主动轴角加速度为 α=0.02 rad/s2时，方程（10）对应的系统横向振动响应 βL和 γL如图 4 所示，其中，βL和 γL的单位为弧度（rad），时间 t的单位为秒（s），以下所有系统响应图中的单位均与此相同。由图4可知，在这组参数条件下系统的横向振动响应是不稳定的，振动幅度随时间增加而增大；βL和γL的振动响应数值不同，但是变化规律相同。

图4 系统响应图（α=0.02 rad/s2）Fig.4 Response of system(α=0.02 rad/s2)

过渡过程与平稳工况下的明显不同就是要考虑主动轴的加速转动，为了研究角加速度对系统响应的影响，令其它参数保持不变，画出α=0.04 rad/s2和α=0.08 rad/s2时系统的横向振动响应βL如图5和图6所示。比较图4、图5和图6可以看出，α=0.02 rad/s2时，βL由开始时的0.007 rad经过100 s后增加到0.015 rad；α=0.04 rad/s2时，βL经过100 s后几乎保持在0.007 rad左右，幅度没有变化；而α=0.08 rad/s2时，βL由开始时的0.007 rad经过100 s后减小到0.003 rad。因此主动轴角加速度的变化影响系统的稳定性，角加速度越大，经过相同时间后，振动幅度变得越小；在本文所取的实验模型参数条件下，α＜0.04 rad/s2时系统是不稳定的，α≥0.04 rad/s2时系统是稳定的。

图5 系统响应图（α=0.04 rad/s2）Fig.5 Response of system(α=0.04 rad/s2)

图6 系统响应图（α=0.08 rad/s2）Fig.6 Response of system(α=0.08 rad/s2)

当然，在万向铰及变工况的共同作用下，偏斜旋转轴系的稳定性是复杂的，系统包含自激振动、参激振动和强迫振动成分，而且会表现出多种共振形式，包括和型组合共振、差型组合共振、主共振及超谐波共振等，对过渡过程中万向铰传动偏斜轴系横向振动的详细稳定性分析将在后续文章中进行研究。

6 结 论

本文研究了过渡过程中万向铰传动偏斜轴系的横向振动问题。首先，将偏斜旋转轴的横向振动以从动轴的角位移βL和γL表示，在建立系统运动坐标系的基础上，将支撑轴承处理为一对正交的弹簧－阻尼器系统，利用欧拉方程推导出了过渡过程中万向铰传动偏斜轴系的横向振动模型，该模型为两自由度参数激励系统。从分析该模型可以看出，万向铰传递力矩引起了系统的自激振动和参数振动，而万向铰结构偏斜和误差偏斜的存在，既能直接影响从动轴所受弯曲力矩的大小，还能引起系统的强迫振动。利用龙格－库塔法对该偏斜轴系横向振动响应进行了数值仿真，仿真结果表明主动轴角加速度的变化影响系统的稳定性。本文得到的振动模型为后续研究分析过渡过程中万向铰传动偏斜轴系的横向振动稳定性奠定了基础。

[1]Jermy L E．Velocity and acceleration analysis of universal joints[J]．Machine Design,1942,14(11):93-94．

[2]Rosenberg R M,Ohio T．On the dynamical behavior of rotating shafts driven by universal(Hooke)couplings[J]．ASME Journal of Applied Mechanics,1958,25(1):47-51．

[3]Iwatsubo T,Saigo M．Transverse vibration of a rotor system driven by a cardan joint[J]．Journal of Sound and Vibration,1984,95(1):9-18．

[4]Ota H,Kato M．Lateral vibration of a rotating shaft driven by a universal joint-1st report,generation of even multiple vibrations by secondary moment[J]．Bulletin of JSME,1984,27(231):2002-2007．

[5]Ota H,Sugita H,Kato M．Lateral vibration of a rotating shaft driven by a universal joint-2nd report[J]．Bulletin of JSME,1985,28(242):1749-1755．

[6]Kato M,Ota H．Lateral excitation of a rotating shaft driven by a universal joint with friction[J]．Journal of Vibration and A-coustics,1990,112:298-303．

[7]Saigo M,Okada Y,Ono K．Self-excited vibration caused by internal friction in universal joints and its stability method[J]．Journal of Vibration and Acoustics,1997,119:221-229．

[8]冯昌林,王德石,朱拥勇．变工况条件下万向铰驱动轴的运动特性分析[C]．龚自正．数学力学物理学高新技术交叉研究进展—2010卷．北京:科学出版社,2010:479-484．

Lateral vibration analysis of misaligned shafting driven by a universal joint during transient process

FENG Chang-lin,WANG De-shi,ZHU Yong-yong

(Department of Weaponry Engineering,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China)

The lateral vibration of misaligned shafting driven by a universal joint during transient process is investigated.The driven shaft is assumed to be a rigid shaft,and the angular deflection of lateral vibration is described by a pair of Euler’s angles,the components of the moment transmitted by the universal joint with respect to a moving frame are obtained.The bearing is modeled by pairs of springs and dampers,then the lateral vibration differential equations were established applying the modified version of Euler’s equations.Using direct numerical integration for a set of parameter values,the response of lateral vibration is found,and the effects of angular acceleration on vibration response are analyzed.The results indicate that the transmitted torque causes not only parametric vibrations but also self-excited ones,the misalignments of universal joint affect the bending moment acting on the driven shaft directly,and cause the forced resonances of system.The angular acceleration of the driving shaft affects the stability of system,the vibration amplitudes decrease with the increase of angular acceleration.The research work makes sense in confirming the dynamic stability of misaligned shafting driven by universal joint during transient process.

universal joint;lateral vibration;misaligned shafting;transient process

TH133.4

A

1007-7294（2012）11-1314-07

2011-11-17

国家自然科学基金资助项目（50875259）和教育部留学回国人员科研启动基金资助项目

冯昌林（1983-），男，海军工程大学博士生，E-mail:fcl_325@126.com；

王德石（1963-），男，海军工程大学教授，博士生导师。