朱晓波 王首勇 冯 讯

(空军雷达学院雷达兵器运用工程军队重点实验室，湖北 武汉430019)

引 言

实际中的雷达杂波通常呈现显著的非高斯特性和相关特性，其概率密度函数(PDF)具有较重的托尾。在该杂波背景下针对高斯杂波的检测器难以实现对目标的有效检测。基于广义中心极限定理的α稳定分布(Sα(γ,β,μ))[1-2]得到了广泛应用[3-4]，已被证明特别适合描述具有重尾特性的雷达杂波[5-6]。Sα(γ,0,0)通常称为对称α稳定分布，记为SαS.SαS分布除了两个特例(高斯和柯西分布)外，不存在PDF解析表达式[2]。虽然针对独立同分布的SαS，可采用高斯混合模型(GMM)[7-8]、柯西-高斯混合模型(CGM)[9-10]等对其PDF进行近似，但对于相关SαS分布[11]，很难给出合适的PDF近似模型。这给在该类杂波背景下的最优检测器设计带来了困难。

由于分布的PDF特征往往可以由统计矩来描述，在很难获得PDF的情况下，可根据信号和杂波的统计矩信息建立最优检测器[12]。在高斯杂波背景下，通常根据二阶矩或二阶统计量，由最大信杂比准则建立基于匹配滤波或本征滤波的最优检测器[13]。但对于服从SαS分布的非高斯杂波，当特征指数0<α<2时，只有小于α阶的统计矩是有限的，不存在二阶矩或方差[2]。基于二阶矩或二阶统计量的匹配滤波或本征滤波不能有效工作，甚至会给出错误的结果。另外，匹配滤波主要适用于已知的确定性信号模型。但通常雷达目标信号，如幅度、初相等参量是随机的，通常采用适用于随机信号模型的本征滤波[13]。

为此，基于分数低阶统计量，结合最佳滤波器理论，考虑到雷达目标信号幅度、初相随机等因素，提出一种分数低阶本征滤波模型(FLOEF)。该模型以输出分数低阶信杂比(FSCR)最大为准则：利用分数低阶协方差矩阵可以很好地白化相关SαS分布杂波。与传统基于二阶统计量的本征滤波相比，利用FLOEF模型可以获得更大的信杂比改善。通过计算机仿真和实测数据验证结果表明：分数低阶本征滤波模型在不同杂波参数及不同多普勒信号条件下的检测性能均优于传统基于二阶统计量的本征滤波模型。

1. 理论分析

1.1 SαS分布及分数低阶统计量

α稳定分布的PDF除少数特例外，不存在封闭的表达式，一般使用特征函数来描述其分布特性。如果实随机变量X具有如下特征函数形式[1-2]

=exp{jμt-σα|t|α[1-

(1)

式中： 参数0<α≤2为特征指数；σ≥0为尺度参数(γ=σα为分散系数)；-1≤β≤1为偏斜因子；实数μ为位置参数；sign(·)为符号函数，且

则X服从α稳定分布，表示为X～Sα(σ,β,μ)或X～Sα(γ,β,μ).特别地，X～S2(1,0,0)对应均值为0，方差为2的高斯分布。当α<2时，一个服从SαS分布的实随机变量X～Sα(σ,0,0)可表示成X=σGA1/2，其中G～N(0,2)，A为服从正向偏斜的α稳定分布

A～Sα/2([cos(πα/4)]2/α, 1, 0)

(2)

(3)

式中：n=0,…,M-1，G1(n)和G2(n)相互独立，均服从高斯分布N(0,2)，A(n)服从式(2)的分布，M为序列长度。要产生相关复SαS分布杂波，实际应用中式(3)中A(n)、G1(n)和G2(n)的产生则通常由对应的白色序列分别通过一个自回归(AR)或自回归滑动平均(ARMA)模型来实现。

对于0<α<2的SαS分布随机变量，只有阶数小于α阶的矩是有限的，即不存在二阶矩和有限方差[2]。传统基于二阶或高阶统计量的信号处理方法将会显著退化，甚至会导致错误的结果。因此，分数低阶统计量成为SαS分布条件下进行信号处理的重要工具。常用的分数低阶统计量包括：分数低阶矩、共变、分数低阶协方差等。根据需要，这里仅给出复SαS分数低阶协方差的定义。

(4)

1.2 分数低阶本征滤波模型

1.2.1 模型设计

设观测信号为

(5)

(6)

式中：

(7)

由于符号幂变换(·)〈p〉只作用于信号幅度，不改变其相位信息，因此，将FLOEF的模型输出表示为

(8)

(9)

(10)

唯文章之用，实经典枝条……于是搦笔和墨，乃始论文。详观近代之论文者多矣：至如魏文述典，陈思序书，应玚文论，陆机《文赋》，仲治《流别》，弘范《翰林》，各照隅隙，鲜观衢路……又君山、公干之徒，吉甫、士龙之辈，泛议文意，往往间出，并未能振叶以寻根，观澜而索源。……夫铨序一文为易，弥纶群言为难……[注]范文澜：《文心雕龙注》，第726-727页。

(11)

(12)

考虑到式(12)中FLOEF的输出功率是由信号和杂波的分数低阶协方差矩阵形式给出的，因此，将FLOEF的输出信杂比用分数低阶信杂比(FSCR)来表示

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

因此，最佳FLOEF滤波器模型为

(18)

当p=1时，式(18)即转化为传统的基于二阶统计量的本征滤波器模型。

1.2.2 分数低阶指数p的选取

(19)

(20)

式中：

C2(p,α)= 2pΓ(1+p/2)Γ(1-p/α)

Γ(1-p/2)

(21)

则根据式(19)和式(20)可得

(22)

因此，分数低阶指数p的取值可由式(22)确定。由式(22)不能直接求解出p的解析表达式，但对于给定的α和γ值，可以确定唯一的p值。图1给出了当1≤α<2,γ取不同值时p的取值示意图。特别地，当α=2时为高斯分布，此时存在二阶矩，取p=1.

图1 不同α,γ值时p的取值示意图

2. 实验结果分析

(23)

(24)

(25)

式中：N为观测数据矢量样本数，仿真中取N=1 000.

为检验FLOEF模型的有效性，分别在仿真数据和实测数据条件下将其与传统基于二阶统计量的本征滤波器(EF)模型进行比较和分析。

2.1 仿真数据时的性能分析

A(n)=aA(n-1)+daη(n)

(26)

G1(n)=bG1(n-1)+dgg1(n)

(27)

G2(n)=bG2(n-1)+dgg2(n)

(28)

仿真数据时的参数取值：a=-0.85，b=-0.8125，α分别取1.8，1.95和2.0，γ=1.2.则由式(22)可得，当α=1.8, 1.95时，分数低阶指数应分别取p=0.425, 0.485.当α=2.0时取p=1.根据文献[14]求相关复SαS分布杂波的分数低阶协方差谱。图2所示为α=1.8时相关复SαS分布杂波的分数低阶协方差谱密度曲线(20次独立仿真的平均)。

图3为FLOEF和传统本征滤波(EF)在不同α值时的检测性能曲线。

图2 相关复SαS分布杂波分数低阶 协方差谱密度(α=1.8)

(a) fd=62.5 Hz

(b) fd=375 Hz图3 仿真数据时FLOEF和传统EF检测性能比较

从图3中可以看出：在高斯杂波条件下(α=2.0)，FLOEF即转化为传统基于二阶统计量的EF，此时两者性能是一致的。当目标处于主杂波谱区，α等于1.95和1.8时，FLOEF在Pd=0.5时的性能较传统EF分别提高了约3 dB和8.5 dB；当目标处于非主杂波谱区，α等于1.95和1.8时，FLOEF在Pd=0.5时的性能较传统EF分别提高了约6 dB和12.5 dB.实验结果还表明：在非高斯相关杂波条件下，FLOEF较EF具有明显的性能优势，且α值越小(杂波分布拖尾越重)，FLOEF的性能改善越大。这是因为：一方面，在分数低阶本征滤波模型中，在保持接收信号相位及多普勒信息不变的前提下，对观测信号进行一次符号幂变换，在很大程度上抑制了较大的杂波尖峰脉冲，这有利于对目标(特别是弱目标)进行检测；传统EF是利用杂波的相关矩阵对接收信号进行白化，这在高斯相关杂波背景下可以取得最好的白化效果，极大地提高信杂比，但对于非高斯相关杂波，特别是在相关SαS分布杂波条件下，由于SαS分布不存在二阶统计量，相关矩阵已不能准确描述杂波的相关特性，因此，此时利用传统EF将不能对杂波进行有效的白化，信杂比改善有限。而FLOEF采用分数低阶相关矩阵，可以很好地白化非高斯相关杂波，通过对分数低阶相关矩阵的变换，求取本征向量导出的最优滤波器将能显著改善信杂比。

2.2 实测数据时的性能分析

实测数据为加拿大McMaster大学利用IPIX(Intelligent PIXel processing)雷达所采集的海杂波数据[15]。该雷达架设在加拿大达特茅斯靠近大西洋海岸的一处悬崖顶上，雷达距离海平面100英尺(30.48 m)，雷达采用驻留式工作方式连续接收来自同一方向的海面回波。IPIX雷达采用HH和VV两种工作模式，工作频率为9.39 GHz，距离分辨率为30 m，脉冲重复频率为1 000 Hz，天线增益为45.7 dB，波束宽度为0.9o.采用该雷达采集的#310组数据文件19931118_162155_stareC0000，该文件包含14个距离单元，每个距离单元由131 072个脉冲重复周期的采样样本组成。仿真中取该文件HH极化数据的其中10个距离单元(样本数为1 310 720)的纯海杂波样本进行分析。首先采用log|SαS|法[9]对杂波参数进行估计，得到数据样本的参数为：α=1.563 9，σ=0.476 2，对应分数低阶指数应取p=0.36.

图4为实测数据的幅度概率分布(APD)曲线，以及分别用复SαS和复高斯分布对实测数据进行拟合的APD曲线。可以看出：杂波数据幅度偏离复高斯分布，而复SαS分布可以较好地对IPIX杂波分布进行拟合。

图5给出了杂波样本的分数低阶协方差谱密度曲线。可以看出：由于海情(如海浪、海风等)的影响，数据杂波谱存在频移和展宽。根据图5的杂波样本分数低阶协方差谱密度曲线，仿真中分别选取目标多普勒频率处于主杂波谱区及边缘和非主杂波谱区三种情况进行分析。因此目标多普勒频率分别取fd等于-187.5 Hz、-250 Hz和375 Hz.其余信号参数取值同实验1.

图4 IPIX杂波APD曲线拟合

图5 IPIX杂波分数低阶协方差谱密度曲线

图6为FLOEF和传统EF的检测性能曲线。从图6中可以看出：对不同多普勒频率的目标，FLOEF的检测性能均优于传统EF，且当fd分别为-187.5 Hz、-250 Hz和375 Hz时，FLOEF在Pd=0.5时性能较传统EF分别提高了约1.5 dB、3 dB和 2.7 dB.这是因为利用FLOEF不但可以抑制较大的杂波尖峰脉冲，还能通过分数低阶相关矩阵对非高斯相关杂波进行很好的白化，从而改善信杂比。因此，FLOEF模型在实测数据条件下同样适用，且性能优于传统的EF模型。

图6 实测数据时FLOEF和传统EF检测性能比较

3.结 论

非高斯相关杂波背景下的目标检测一直是雷达探测技术中的难点。当杂波PDF结构复杂或不存在封闭表达式时，难以甚至无法建立检测统计量。以SαS分布为背景，考虑到SαS分布不存在二阶矩，传统基于二阶统计量的本征滤波不能有效工作，基于分数低阶统计量及最佳滤波器理论，以滤波器输出分数低阶信杂比最大为准则，给出了一种分数低阶本征滤波模型。该模型具有结构简单、易于实现的特点。通过仿真数据和实测数据对FLOEF和基于二阶统计量的传统EF的检测性能进行了详细验证与比较，结果表明：FLOEF模型适用于不同参数的杂波环境，在非高斯SαS分布杂波背景下的检测性能要明显优于传统的EF模型。所提出的方法为非高斯相关杂波背景下的雷达目标检测提供了一种有效手段。

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