杨利霞 于萍萍 马 辉 石雁祥 葛德彪

(1.江苏大学通信工程系，江苏 镇江 212013;2.东南大学毫米波国家实验室，江苏 南京 210096； 3.新疆伊犁师范学院电子与信息工程学院，新疆 伊犁 835000； 4. 西安电子科技大学物理系，陕西 西安 710071)

引 言

等离子体是由大量带电粒子组成的非束缚态宏观体系，为物质的第四态，具有纵多独特的性质，人们对其电磁特性的研究也越来越热。以前，由于多方面条件的限制，研究的目标只限于非时变等离子体。实际应用中的等离子体,它的等离子体频率会随着时间发生变化。目前，关于时变等离子体的研究仍然处于初步分析的阶段。国际上，文献[1]较早地从理论公式出发，推导了电磁波在时变介质中的传输情况；Dikshitulu K.Kalluri[2-3]等人将这种时变介质具体化，一直致力于研究电磁波在时变等离子体中的传输特性。在国内，关于时变等离子体的研究成果还比较少，刘少斌等人从隐身技术的角度初步研究了时变等离子体[4]。

杨利霞[5]、谢应涛等人曾利用FDTD方法研究了非时变等离子体的特性，并提出了解决各向异性色散介质问题的基于电流密度拉普拉斯变换的FDTD(CDLT-FDTD)方法[6]。本文利用CDLT-FDTD方法，推导一维时变等离子体的FDTD迭代式，并编程计算了矩形金属腔中在某一时刻瞬间加入等离子体(例如在某一时刻迅速在腔内加入电压进行电离)后有哪些新的特性产生。从理论上推导得到了解析解。最后，选取算例，将FDTD数值计算结果与具体计算得出的解析解进行对比，证明了所采用FDTD方法的准确性,并得到了一些结论，为今后进一步的研究奠定了基础。

1.瞬变等离子FDTD算法及递推公式

在各向异性瞬变磁冷等离子体中，Maxwell方程组和相关的本构方程为

(1)

(2)

(3)

式中：v是等离子体中电子与中性粒子的碰撞频率；ωb=eB0/me为电子旋转频率，B0为外部静态磁场，e和me分别表示电子电量和电子质量；ωp(t)是时变等离子体频率，假设等离子体在t0时刻瞬间产生，则它的函数形式可以表示为

(4)

ωp(t)的变化规律如图1所示。

图1 随时间变化的等离子体频率

图2 一维FDTD离散Yee元胞离散图

对一维问题的E,H,J可按如图2所示位置进行网格剖分。对方程(1)、(2)进行差分离散，得到的FDTD方程为

(5)

(6)

(7)

(8)

对于J的迭代计算，采用CDLT-FDTD方法。将频域方程做拉普拉斯变换到S域，再将其进行拉普拉斯逆变换到时域，进行差分离散。这样做的好处是可以避免卷积运算，减小当ωb或v很大时，直接离散产生的较大误差，并且在运算过程中可以利用矩阵向量的形式，减小复杂度，更加简洁。

得到离散时域的J的FDTD迭代式:

(9)

(10)

(11)

具体编程计算时，采用一维矩形金属腔作为计算模型，如图3所示，电磁波的传输方向为z方向，两金属板间的距离为d，取d为1/2波长的整数倍。在编程时，对于边界上是理想导体的问题，是通过设置理想导体的边界条件即电场的切向分量为0来实现的；引入正弦波作为激励源，电场的Ex分量和Ev分量仅在相位上相差π/2，即右旋圆极化波。分别计算了腔中不填充任何介质和在某一时刻瞬间加入等离子体后的电场值，具体计算结果见第3节。

图3 一维矩形金属谐振腔计算模型

2. 解析解的推导

推导了在图3所示的谐振腔中瞬间产生等离子体后，腔内右旋圆极化电磁波的频率的变化规律，即矩形腔的谐振频率以及振幅等的变化规律。解析解的具体推导过程如下。

分别用E-和E+表示产生等离子体前后的电场。则在t

(12)

将式(12)代入方程(1)可得

(13)

(14)

(15)

同理可得

(16)

(17)

从Maxwell方程(1)、(2)和各向异性时变磁化等离子体的本构方程出发，可推导出时变等离子体的波动方程如下：

(18)

(19)

所以式(18)可写为

μ0ωb×J-μ0vJ

=0

(20)

一维情况下，将式(20)展开，得

(21)

一维情况下的Maxwell方程组，可写为标量形式如下：

(22)

(23)

式中

(24)

(25)

对式(23)进行因式分解，可得

(26)

式中ω1～ω3，α1～α3，D1，D2,D3,G1,G2,G3可通过式(25)、(24)和(23)计算得出。又知：

=Ae-α tcos(ωt+φ)

(27)

式中D=Acosφ,G=-Aωsinφ

(28)

由式可得

(29)

根据式(28)、(29)可以计算出φ.

(30)

由此可见，在碰撞频率v不为0，磁化等离子体情况下，谐振腔内产生了新的谐振频率，并且新频率点的值由ω0、ωb和ωp_max的大小共同决定，电磁波的振幅也随v值呈指数衰减。

当碰撞频率v为0时，式(23)可因式分解为

(31)

联合式(15)、(16)对式(31)进行拉氏逆变换，有

(32)

由此可见，在加入磁化等离子体后，Ex由原来的一个固有频率ω0变成了三个新的频率ω1～ω3，并且ω1、ω2、ω3的值是由ω0、ωb和ωp_max共同决定的，由于ω1～ω3的解用符号表示比较复杂，第3节将直接代入参数值列出结果。

在无外加磁场情况下，式(23)可写为

(33)

(34)

对式(33)拉氏逆变换后可得

(35)

由此可见，当谐振腔中瞬间加入非磁化等离子体时，虽然没有产生新的谐振频率，信号振幅也未发生变化，但谐振频率点却产生了移动。

至此，从理论上得出了一维矩形金属腔中添加瞬变磁化和非磁化等离子体的解析解，为数值计算的验证提供了条件。

3. 算例验证及数值分析

用本文提出的FDTD方法计算了矩形谐振腔中加入瞬变非磁化和磁化等离子体前后的结果，并与解析解进行对比，验证了所采用的数值计算方法的准确性。

3.1 非磁化瞬变等离子体频率漂移分析

非磁化情况，所用参数为：ωb=0 GHz，ω0=2π×10 GHz，E0=1 V/m，z=d/2，n=1.由第2节的理论计算可得

(36)

FDTD仿真结果如图4所示，图中实线为产生等离子体前的仿真结果，虚线表示产生等离子体后的仿真结果。

为了便于比较，从图4中提出解析解和仿真值的频率和振幅值，见表1所示。

根据图4与表1可见，数值解与解析解的误差很小，证明了用FDTD计算非磁化瞬变等离子体的准确性。当谐振腔中瞬间加入非磁化等离子体时，虽然没有产生新的谐振频率，信号振幅也未发生变化，但谐振频率点向高频方向产生了漂移。

图4 加入瞬变非磁化等离子体前后矩形 腔内电磁波的谐振频率

3.2 磁化瞬变等离子体频率漂移分析

磁化情况，所用参数为：E0=1 V/m，ωp_max=2π×10 GHz，z=d/2，ωb=2π×10 GHz，n=1.理论计算得

(37)

FDTD仿真结果如图5所示，图中实线表示产生磁化等离子体前的结果，虚线表示产生磁化等离子体后的结果。

为了便于比较，从图5中提出解析解和仿真值的频率和振幅值，见表2所示。

从图5与表2可以看出，磁化情况下，FDTD数值结果与解析解也非常接近，由此可验证用FDTD方法计算磁化瞬变等离子体的准确性。

图5 加入瞬变磁化等离子体前后矩形腔内电磁波的谐振频率

理论解FDTD解产生等离子体前的振幅/(V/m)11产生等离子体前的谐振频率/GHz1010产生等离子体后的振幅/(V/m)0.5476;0.2341;0.2191;0.5635;0.2507;0.2268;产生等离子体后的谐振频率/GHz24.6;17;2.424.7;17.1;2.5

通过以上FDTD仿真值与解析解的对比，验证了FDTD方法计算时变等离子体的正确性，可用此方法继续分析一些解析解较难计算的复杂问题。同时也可以看出：在矩形谐振腔中瞬间加入非磁化等离子体后，谐振腔内电场的振幅不变，谐振点向高频处移动；在矩形谐振腔中瞬间加入磁化等离子体后，谐振腔产生了新的谐振频率，为进一步的分析和应用提供了思路和基础；在碰撞频率不为0时，新的谐振振幅有很大的衰减，这样就对谐振频率的提取提出了难题，怎样解决此问题是我们今后的研究方向。

4.结 论

利用CDLT-FDTD方法，推导出了时变各向异性磁等离子体的FDTD递推式，采用矩形金属谐振腔中加入瞬变等离子体的模型进行了编程计算，分别得到了瞬变等离子体在是否有外加磁场情况下的数值解。并且从理论上推导计算了一维矩形金属谐振腔中加入瞬变等离子体后的解析解。将数值解与解析解进行对比，验证了所用方法的准确性。利用数值方法进一步计算，分析得出如下结论：在矩形谐振腔中瞬间加入非磁化等离子体后，谐振腔的振幅不变，谐振点朝高频方向发生了漂移；在矩形谐振腔中瞬间加入磁化等离子体后，谐振腔中产生了新的谐振频率，这些结果为进一步的分析和应用提供了思路和基础。

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