李红霞

(上海海事大学 文理学院，上海 201306)

0 引言

曲面的亏格是反映曲面几何性质的重要数据，已经有很多研究成果.如文献［1］和［2］得到反映4－流形中嵌入曲面的亏格g与自交数［Σ］·［Σ］之间关系的共轭不等式

对于同伦K3曲面，文献［3］得到亏格g与自交数［Σ］·［Σ］的关系式

此外，在群作用下，一些结果可以被提高.如利用稳定同伦的 Seiberg－Witten 不变量，FURUTA 等［4］对K3与K3的连通和上的嵌入曲面Σ得到推广的共轭不等式

EDMONDS［5］证明每个闭的单连通的拓扑4－流形上都存在奇素数阶循环群作用，且除了3阶循环群的某些情况外，这些作用都是同调平凡并且伪自由的.因此，若假设不动点集为二维实曲面，则循环群的阶数只可能是3阶.本文对椭圆曲面E(2k)(k≥1)上的3阶循环群作用进行研究:假设群作用的不动点为二维实连通曲面Σ，研究该不动曲面Σ的亏格g与自交数［Σ］·［Σ］之间的关系.

1 预备知识

本节主要包括椭圆曲面的定义，4－流形上的群作用以及不动点与Spin数的相关内容.

假设X=E(n)为单连通的极小椭圆曲面(极小椭圆曲面是指不是通过其他椭圆曲面的爆破得到的曲面).由于 sign(E(n))= －8n，χ(E(n))=12n，于是 sign(E(2))= －16，χ(E(2))=24，因此E(2)就是K3曲面.

设Zp为4－流形X上的p阶循环群作用，τ:X→X为Zp的一个生成元.如果 τ可以提升到Spinc丛上得到:PSpinc→PSpinc，则称该循环群作用为Spinc作用.如果^τ为2p阶，则称该作用为偶型的;如果^τ为2p+1阶，则称该作用为奇型的.由文献［9］可知任意奇数阶循环作用都是偶型的.

根据局部Smith理论，Zp作用的不动点集F=Fix(τ)是由孤立点和二维实曲面构成的.而EDMONDS［5］证明所有的不动曲面均为二维球面S2当……