李元玉

摘要：广义积分中值定理是数学分析中的一个重要定理，对微分中值定理、曲线和曲面积分中值定理等的认识有很大帮助.本文根据广义积分中的广义积分和积分中值定理的定义和相关性质，扩展到广义积分中值定理中，重点在单调区间上的广义积分中值定理、带有参数的广义积分中值定理、广义Riemann积分中的推广这三方面进行探讨.

关键词：广义积分；积分中值定理；广义积分中值定理

中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）12-0164-03

1 广义积分

1.1 第一类广义积分

设函数f（x）在区间[a，b]上可积，则称■f（x）dx为第一类广义积分[1]，且当■■f（x）dx存在时，称该广义积分收敛，反之称之为发散。

同理，有■f（x）dx属于第一类广义积分形式，而■f（x）dx由双向极限（a→-∞，且b→+∞）确定其收敛性，属第一类双边广义积分。

1.2 第二类广义积分

设f（x）在x=a右侧领域内无界（x=a称为f（x）的一个奇点），？坌X∈（a，b]，f（x）在[X，b]上可积，则称■f（x）dx为第二类广义积分[1]，且当■■f（x）dx存在时称■f（x）dx收敛，反之极限不存在时，称广义积分■f（x）dx发散。

被积函数f在点a近旁是无界的，这时点a称为f的瑕点，而无界函数反常积分■f（x）dx又称为瑕积分。

类似上述描述可有积分上限为奇点的第二类广义积分，甚至可有[a，b]内有奇点x=c的广义积分■f（x）dx称为第二类广义积分。

2 积分中值定理

2.1 积分中值定理及其几何意义

积分中值定理[1]：若f在[a，b]上连续，则至少存在一点ζ∈[a，b]，使得■f（x）dx=f（ξ）（b-a）.积分中值定理的几何意义：若f在[a，b]上非负连续，则y=f（x）在[a，b]上的曲边梯形面积等于以f（ξ）为高，[a，b]为底的矩形面积。■■f（x）dx理解为f（x）在区间[a，b]上所有函数的平均值。

2.2 积分中值……