姜莉

近年来，高考中有关导数知识的题目，很多是以三次函数为载体来考查导数知识应用的.从这些题目来看，考查的切入点大多还是以导数的几何意义、极值、最值、单调性等，通过不等式，恒成立等问题的形式，进一步考查数形结合、分类讨论等数学思想.三次函数的导数为二次函数，考查导函数的性质（单调性、单调区间、极值、最值等），要注意结合一元二次方程、二次函数、二次不等式等有关的知识点（如方程根的分布、不等式恒成立等），培养学生的代数推理能力、语言转换能力.大致有以下几类.

一、与其他章节知识的综合运用

全国卷Ⅰ理的2009卷的第22题可视作对三次函数考查的一大亮点.因为此题首次将导数和线性规划有机地结合起来，一改以往单纯利用极值、最值、单调性考查不等式相关知识和分类讨论、化归等数学思想的老面孔，给人耳目一新的感觉.

例1（2009全国卷Ⅰ理）设函数f（x）=x+3bx+3cx有两个极值点x、x，且x∈[-1，0]，x∈[1，2].

（I）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；

（Ⅱ）证明：-10≤f（x）≤-.

分析：（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力.（Ⅱ）这一问考生不易得分，有一定的区分度.主要原因是含字母较多，不易找到突破口.此题主要利用消元的手段，消去目标f（x）=x+3bx+3cx中的b，（如果消c会较烦琐）再利用x的范围，并借助（I）中的约束条件得c∈[-2，0]进而求解，有较强的技巧性.

解：（I）f′（x）=3x+6bx+3c由题意知方程f′（x）=0有两个根x、x，且x∈[-1，0]，x∈[1，2].则有f′（-1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0，故有2b-c-1≤0c≤02b+c+1≤04b+c+4≥0，右图中阴影部分即是满足这些条件……