俞淑萍

（上海医疗器械高等专科学校基础部，上海 200093）

文献［1］引进广义Γ－环，本文研究这种环上模的Morita结构及其应用.该问题迄今尚未有人讨论过.本文中出现的广义Γ－环R均有α－单位元，∀α∈Γ.设M为R－右模，N为R－左模，Hom（M，N）表示M到N的模同态集，End（M）表示模M自同态集.本文中出现的不加定义的概念和符号见文献［1－2］.

1 广义Γ－环上模的Morita结构定义

根据结合环上模的Morita理论，可以定义广义Γ－环R上的模、α－自由投射模、投射生成模及α－张量积等概念.本文省略这些概念的定义过程，直接利用这些概念，并不加证明地给出广义Γ－环R上模的相应结果.

定理1 设P为R－模，则下列条件等价：

a.P为投射模；

b.任一短正合列0→M→N→P→0是点分裂的；

c.P为α－自由模的直和因子，即存在α－自由模F与R模P′使P⊕P′～F.

定理2 R－模P为投射模的充分必要条件是存在集

定理1和定理2可由广义Γ－环上模的运算特性，仿照文献［3－4］中结合环相应结果的证明即可证得.本文省略它们的证明.

定义1 设R′，R为广义Γ－环，M＝R′MR，M′＝RM′R′，若有R－R－同态τ和R′－R′－同态μ为

它们满足：任意x，y∈M，x′，y′∈M′，

即下面的两个同态映射图1（a）和图1（b）可交换，则称（R，R′，M，M′，τ，μ）为一个Morita结构.

图1 同态映射交换图Fig.1 Homomorphic figure

2 构造M

定理3 设M＝MR为广义Γ－环R上的（右）模，从M出发构造它的一个Morita结构，并称之为构造M.

证明 令M＊＝Hom（MR，RR），R′＝End（MR），分别规定以下情形：

情形1 ∀α∈Γ，1α∈C1（R），设r′1，r′2∈R′，β∈Γ，m∈M，规定

则对任意ν∈Γ，x∈R

显然r′1βr′2∈End（M），故r′1βr′2∈ End（MR）.易验证R′关于这个结构构成广义Γ－环.1′α为R′的α－的单位元，且1′α∈C（R′）.为区别于环End（MR），将这个广义 Γ－环 R′记为EndΓ（MR），即R′＝EndΓ（MR）.特别地，若仅对α－而言，即Γ＝｛α｝，就得到广义α－环

则R′也为广义Γ－环.

情形3 在情形1中，当r′∈R′，m∈M，β∈Γ时，规定

则MR为左R′－模，即M＝R′MR.

情形4 在情形2中，当r′∈R′，m∈M，β∈Γ时，规定

则MR为R′－模，即M＝R′MR.

情形5 在情形1中……