翟院青， 原三领， 袁艳燕

（上海理工大学理学院，上海 200093）

文献［1］讨论了具有变人口规模含积分时滞的SIS流行病模型

式中，I（t）、N（t）分别为t时刻的染病者和总人口.模型中所有参数均为正常数：A为人口的常数迁入，并假设迁入的均为易感者；β为传播系数；d、ε分别为人口的自然死亡率和因病死亡率.P（t）为染病者患病t单位时间后仍为染病者的比例.在模型（1）中，若假设每个染病者个体的染病期为常数，则模型（1）将成为一个与之等价的微分差分方程.在文献［1］中，确定了疾病传播的基本再生数，得到了无病平衡点全局渐近稳定以及地方病平衡点局部渐近稳定的条件.此类含时滞流行病模型的地方病平衡点全局稳定性的证明对从事流行病建模和研究的工作者来说历来是一件非常棘手的事情，现有的工作大多局限于通过构造Liapunov函数的方法来证明［2－8］.本文将在文献［1］的基础上进一步探讨疾病传播的持续性以及地方病平衡点全局渐近稳定的条件.

1 模 型

假设每个染病个体的染病期为一常数ω，即P（t）为一分段函数

则模型（1）成为与之等价的微分差分方程

定义

由文献［1］知，疾病的基本再生数为

且模型（2）有下面的结论：

引理1 对于模型（2）从Ω中出发的解，下面结论成立：

a.如果I0（0）＝0，则对所有的t≥0有I（t）≡0，N（t）→A／d（t→∞）；

b.如果N（0）≥I0（0）＞0，则对所有的t＞0有N（t）＞I（t）＞0.

引理2 模型（2）总存在无病平衡点（0，A／d）.如果R0≤1，则模型没有其它平衡点；如果R0＞1，则模型还存在一个地方病平衡点

引理3 如果R0＜1，无病平衡点（0，A／d）在区域Ω内全局渐近稳定；如果R0＞1，无病平衡点（0，A／d）在区域Ω内不稳定.