张凤宽

（天津商业大学 理学院，天津 300134）

0 引言

在沈世镒教授的文章[1]中给出了一种改进的经验分布函数的定义，使之更适用于Shannon熵的计算，并利用推导出的有关结果及最大熵原理给出了一个分布检验的新方法，即《分布的熵—矩检验法》。为了使这种方法的应用更广泛，本文拟将一维推广到二维及至多维的情形。

1 二维经验分布函数

对于任意给定的二维随机向量(X,Y)的样本为了给出它的经验分布函数，我们先进行如下讨论：

从(1)式出发可以得到一维样本x1,x2,..xm，排序后得x[1]≤x[2]≤...≤x[m],相应地有：

即 {(x[i],yx[i])}(i=1,2...,m)为(2)中的所有样本，取0＜α＜1/4 ，记 n=m12,n1=m1/2+α,n2=m1/2-α,显 然n2=m,n1.n2=m,定义[1]（带“^”者均为经验分布，以后出现“^”意思相同，不再叙述）

为X的Ⅱ型经验分布函数。

相应的有分布密度函数：

对于每一个k(0≤k≤n2-1):x[kn1+1],x[kn1+2],..x[kn1+n1]对应于(2)中的

排序得：

取 0＜α'＜1/4，记 n0=n11 2,n3=n11/2+α',n4=n11/2-α',从而n3.n4=n1,=n1（显然m→∞时，n1=m1/2+α→∞）。

定义

为y关于x的条件经验分布函数。

相应的分布密度函数为：

当 x[kn1]＜x≤x[(k+1)n1]时。

所以当 x[kn1]＜x≤x[(k+1)n1],yk[ln3]＜y≤yk[(l+1)n3]时，有：

将(3)、(6)式代入(8)式即得二维随机向量的经验分布函数：

其相应的分布密度函数为:

不妨假设(1)式中的样本是来自分布密度函数为f(x,y)的总体中，下面讨论 f̂m,α,α'(x,y)与 f(x,y)之间的关系。

定理1如果 f(x,y)为支集S上的分布密度函数且为二元连续的。其条件分布密度函数 f(y|x),f(x|y)关于x,y有一致有界导数，其边际分布密度函数 f1(x),f2(y)分别具有一致有界的导数，且在S上 f1(x)＞0,f2(y)＞0，则对任何，有

证明：

由已知条件 f(y|x)关于 x,y有一致有界导数，而∫f(x,y)dy=1，从而 f(y|x)有界。又由[1]中结论：当 f1(x)有一致有界导数时：

所以：

同时由 f1(x)有一致有界导数及∫f1(x)dx=1知 f1(x)有界。从而由(12)式知：

对于任意给定的x0：对应于每一个固定的m。有且仅有一个k，使得x[kn1]＜x0≤x[(k+1)n1]，所以：