李柱

(信阳师范学院数学学院，河南信阳 464000)

1 引言

自从上世纪60年代以来孤立子理论得到了迅速发展.1989年屠规彰提出了利用零曲率方程得到可积孤子方程族的简便方法［1］，随后，人们利用此方法得到了许多具有物理意义的可积方程族［2－7］.近年来，有些可积系统无法由迹恒等式建立其哈密顿结构，为了解决此问题，马文秀教授等在双线性泛函下建立了变分迹恒等式［8］.其基本思想如下，对于给定的谱矩阵U=U(u，λ)∈G，其中G是矩阵loop代数，选择λ和u合适的秩使得U是同秩的，定义假设V和V是12静态零曲率方程Vx=［U，V］的同秩解，则它们是线性相关的:V1=γV2，γ=const.此条件是得到迹恒等式的必要条件.令G是一个矩阵loop代数，U=U(u，λ)∈G是同秩的，记＜.，.＞表示为在矩阵李积下非退化的双线性形式不变量，若静态零曲率方程Vx=［U，V］对于一个确定的常数有唯一解V∈G，则对任何方程Vx=［U，V］的同秩解V∈G有如下的变分迹恒等式

其中γ是常数.变分迹恒等式推广了迹恒等式的使用范围，它可以应用于半单或非半单李代数.

本文安排如下，在第二和第四部分得到了一族多分量的可积系统及其耦合系统，作为其约化情况得到了Dirac族，并在第三和第五部分利用变分迹恒等式给出了相应的哈密顿结构.

2 多发量的可积系统

设a=(a1，a2，…，aM)，b=(b1，b2，…，bM)，c是一个常数，定义它们的乘法和除法为

设G3={a=(aij)3×M=(a1，a2，a3)T，ai=(ai1，ai2，…，aiM)}，及其换位运算［a，b］为

容易验证G3是一个李代数.

相应的loop代数~G3为

考虑如下的等谱问题

取

其中

解静态零曲率方程Vx=［U，V］，可得

记

直接计算得

得如下的可积系

其中

由(5)可得

其中

因此……