陈东立，鲁 莉

(西安建筑科技大学理学院，陕西西安 710055)

1 预备知识

定义1.1［2－3］设X是一个集合，对任意的x∈X，μ(x)为点x的单子.

定义集合X上的拓扑为T={A⊆X:对任意的x∈A，μ(x)⊆*A}∪{∅}，T为开集.

定义1.2 设A是(X，T)的子集，若对于任意的x∈X，μ(x)∩*A≠∅，都有x∈A，则称集合A是闭集.

定义1.3 设(X，T)是拓朴空间，若对于任意的x，y∈X，x≠y，有μ(x)∩μ(y)=∅，则称T是Hausdorff的.

定义1.4 设(X，T)是拓朴空间，若对于任意的闭集A⊆X，及x∉A，有μ(x)∩μ(A)=∅，则称T是正则的.

定义1.5 设(X，T)是拓朴空间，若对于任意的闭集A，B⊆X，有μ(A)∩μ(B)=∅，则称T是正规的.

2 几类紧性的刻画及其相关理论

定义2.1 设A是X子集，若对∀y∈*A，∃x∈A，使得y∈μ(x)，则称A是X的紧子集.

定理2.1［4］设(X，T)是拓朴空间，那么A是X的紧子集，当且仅当A的任意开覆盖有有限子覆盖.

定理2.2 设A是拓扑空间(X，T)的子集，若A是紧的，则对所有的a∈*A有A∩stt(a)≠∅.

证明:因为A是紧的，所以对∀a∈*A，∃x∈A，使得a∈μt(x)，而stt(a)={x∈A|a∈μt(x)}显然x∈μt(a)，所以A∩stt(a)≠∅.

定理2.3 设A是拓扑空间(X，T)的子集，则若对所有的a∈*A有A∩stt(a)≠∅，则μ1(A)=∪{μt(x)∶x∈A}.

证明:对任意的a∈*A有A∩stt(a)≠∅，一定存在x∈A∩stt(a)，使a∈μt(x)，所以有μt(a)∈μt(x)，则∪{μt(a)∶a∈*A}⊆∪{μt(x)∶x∈A}.又μt(A)=∪{μt(a)∶a∈A}，所以μt(A)=∪{μt(x)∶x∈A}.

定理2.4 若拓扑空间(X，T)是紧的，且A是X的闭子集，则A是紧的.

引理2.1 拓朴空间(X，T)是T2的，A为X的紧子集，若x∈X－A，则μ(x)∩*A=∅.

证明:假设μ(x)∩*A≠∅，则存在z，使z∈μ(x)∩*A，z∈*A，存在c∈A，使z∈μ(c)，因为X是T2的，x∈X－A，而c∈A，因此μ(x)∩μ(c)=∅，这与z∈μ(x)∩μ(c)矛盾，所以μ(x)∩*A=∅.

定理2.5［5］T空间的每个紧子集都是闭的.2

定理2.6 紧的T2空间是正则的.

证明:A为X的紧子集，由定理(2.5)知，A为闭的，因为拓扑空间(X，T)是T2的，对任意的x∈A，y∉A，有μ(x)∩μ(y)=∅，又因为A是闭的，所以A是紧的，从而μt(A)=∪{μt(x)∶x∈A}，所以μt(A)∩μt(x)=∅，因此紧的T2空间是正则的.

定理2.7 紧的T2空间是正规的.

证明:A，B为X的紧子集，由定理(2.5)知，A，B为闭的，因为拓扑空间(X，T)是T2的，对任意的x∈A，y∈B，有μ(x)∩μ(y)=∅，又因为A，B是闭的，所以A，B是紧的，从而μt(A)=∪{μt(x)∶x∈A}，μt(B)=∪{μt(x)∶x∈B}，所以μt(A)∩μt(B)=∅，因此紧的T2空间是正规的.

定理2.8 如果对每一个i∈J，Xi是紧的，则也是紧的.

定义2.2 设(X，T)是拓……