龚宪生，陈希瑞，3

(1.重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆400030;2.重庆大学机械工程学院，重庆400030; 3.重庆工商大学机械工程学院，重庆400067)

BTG塑料合金准静态力学性能研究

龚宪生1，2，陈希瑞1，2，3

(1.重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆400030;2.重庆大学机械工程学院，重庆400030; 3.重庆工商大学机械工程学院，重庆400067)

为研究BTG塑料合金的准静态力学性能，并建立准确描述其力学性能的分数导数模型，通过DMA242进行了20、40、60、80和100℃下1000 s时长拉伸松弛实验，以此实验数据为基础，根据时温等效原理获得了20℃下440 000 s时长的时间松弛模量.以此识别参数获得了BTG塑料合金的分数导数Kelvin本构模型，同时在20℃下进行了条块形状试样在恒载荷20 N下的1 116 000 s的长时间实验拉伸实验.结果表明：建立的分数导数Kelvin模型能准确描述DMA实验数据和恒载下的拉伸模量变化规律;时温等效原理适用于BTG塑料合金，用分数导数Kelvin模型来描述BTG塑料合金的粘弹松弛特性合理.

粘弹;松弛;时温等效原理;分数导数;参数识别

联接动力装置和负载设备的弹性联轴器不仅要具有好的刚强度以便达到传递动力和运动、好的阻尼特性以达到减振降噪，同时还要具有好的柔性以便较好的补偿静动态轴不对中问题.其实对于由于外界载荷波动造成的瞬间不对中，主要靠的是弹性元件柔性，但对于由于制造导致的系统误差不对中，那么相当于装配后，对弹性元件施加了预应力，这个不对中靠的是弹性元件的粘弹松弛或蠕变来调节，因此研究联轴器的弹性元件的准静态松弛蠕变特性非常必要.

BTG塑料合金是当前用于制作联轴器弹性元件的重要材料之一，其主要以橡胶材料为基体，加入各种填充剂、促进剂等其他填充物质复合而成，在该材料的研制使用中，还未进行其松弛蠕变特性的研究.当前研究材料的松弛蠕变特性的方法很多，文献［1－3］阐述了时温等效原理在橡胶及其他高分子材料松弛蠕变研究中的应用;文献［4－5］分别对原位合成的TiB2/ZL109复合材料进行了拉伸蠕变研究和对VPF粘性介质利用Gemini流变仪进行了剪切蠕变研究;文献［6］利用动态热力学分析(DMA)方法研究了二氧化硅填充的乙丙橡胶的松弛特性;文献［4，7，8］利用松弛蠕变实验研究VPF粘性、单层压板和微细薄板的粘弹本构关系;文献［9］系统研究了分数导数本够模型及其应用.

本文采用动态热力学分析仪 DMA242对BTG塑料合金进行了多温度下1000 s时长的松弛实验，然后利用文献［1］阐述的时温等效原理获得20℃下长时间松弛数据，并以此建立了该材料20℃的松弛模量分数导数松弛模型;同时利用一等截面积为3 cm×5 cm、长15 cm的长方形BTG塑料合金试样，进行了20℃下恒定载荷为20 N的2周时间长的拉伸实验，计算出选定时间点的模量.

1 实验

1.1 实验方案

实验材料为BTG塑料合金，由重庆大学机械传动国家重点实验室和重庆奔腾传动技术有限公司提供.实验仪器为德国施耐德公司出品的DMA242.

试样加载方式为压缩，测量模式为松弛测量.试样为条块形，压缩方向初始高度5.9 mm，受力初始截面为7.0 mm×6.9 mm=48.3 mm2.

松弛实验工况:实验恒定应变为:－200 μm/ 5900 μm=－0.0338983.

实验温度为:20、40、60、80和100℃.

1.2 实验数据处理

1.2.1 压缩松弛模量计算

在DMA242的松弛试验中，松弛阶段测量输出量是施加静态力大小和松弛阶段恒定压缩量或恒定应变量.按松弛的定义，在保持恒定应变下，随时间的增加，其施加的静态力要逐渐变小，其松弛模量也必然随时间增加逐渐变小，表1即是根据实验测量的力和实际应变计算出的各温度下随时间变化的压缩松弛模量.

表1 各温度下的在测量时间点的对数松弛模量

1.2.2 基于时温等效原理长时间松弛模量计算

表1中计算出各温度下1000 s内的松弛模量，但不能直观看出长时间的松弛规律，有必要对数据进行进一步的处理.文献［1］中阐述到，高聚物在不同的作用时间(或频率)下，或在不同温度下都可显示出一样的力学状态，这表明时间和温度对高聚物的力学松弛过程，也即对粘弹性的影响具有某种等效作用.同一力学松弛现象即可在较高温度时的较短作用时间下表现出来，也可以在较低温度时的较长作用时间下表现出来.在交变应力作用时，作用力时间相当于作用频率的倒数，降低频率相当于增加了作用力时间.也能使本来跟不上响应的力学松弛表现出来.可见延迟时间(或降低频率)与升高温度对分子运动是等效的，因而对高聚物的的粘弹行为也是等效的，这就是时温等效原理.时温等效原理在数学上可以表示为

式中E为模量，ρ为密度.

式(2)不仅考虑了时间标尺的移动，还考虑了由于温度的变化所引起的模量本身变化.假设我们任选参考温度T0，在任意时刻t的模量，利用不同温度T下实验观测到的模量根据上式得出

根据以上描述的时温等效原理，要想得到某一温度下的长时间完整的应力松弛规律，对多温度的应力松弛模量曲线可以沿着时间轴平移而叠合在一起.由于高温短时和低温长时可以产生同样的力学效果，显然当T＜T0时，aT＞1;T＞T0时，aT＜1，根据实验数据，就可以得到各温度下相对于参比温度的aT，如采用对数坐标，各温度下相对于参比温度对数时间轴上的位移量为log(aT).

表2是根据实验数据表1，参比温度分别为20、40、60和80℃时的aT及其log(aT)的计算结果.表2中各温度下的aT是该温度下计算若干个aT的平均值，比如20℃时第1000 s的模量与40℃时第570 s的模量相当，则1000=570/a40，故a40=0.57，按此计算多个时间的值取其平均值为0.55，相反40℃时第1000 s的模量相当于20℃时第1000/0.55=1818 s的模量.要特别说明，表2中100℃时第10 s的模量比20℃时第1000 s的模量小，计算100℃aT时，因60℃时第550 s的模量与100℃时第10 s的模量相当，所以100℃于60℃aT为1/55，此值再与60℃于20℃aT相乘而得到100℃ aT，所以100℃ aT误差可能大一些.表2中对数值为负，表示在对数坐标系统中，将该温度下的时间对数右移该量大小，即得到20℃.例如100℃aT=－2.6434，100℃时第1000 s的模量3.059 Pa，即20℃时第10(3+2.6434)= 440 000 s的模量.

表2 相对各参比温度下各温度的对数时间位移量

根据表2计算的各参比温度下、各温度相对参比温度的时间位移因子，结合表1的各实验温度的对数松弛实验数据，通过计算得出任何温度下长时间松弛的状况.本文限于篇幅不准备计算各温度下的长时间松弛模量，只计算20℃时基于时温等效原理的长时间松弛模量，表3是参比温度为20℃、按表2计算出的位移因子，由表1实验数据根据时温等效原理得出20℃时长时间松弛模量第1000 s后的数据.

表3 根据时温等效原理得出的20℃时长时间松弛模量

2 准静态本构模型评估

这里所说准静态是指粘弹性体在静载(突加恒定载荷)的变形、应力和应变以及它们随时间的变化规律，具体说，即是粘弹性在恒应力下应变(或模量)变化规律或在恒应变下应力(或模量)变化规律.目前用来描述粘弹性体的动静态特性的模型主要有粘弹性材料的机械模型(或标准流变学模型)——弹簧和牛顿粘壶组成的模型和分数导数模型——弹簧和Abel粘壶组成的模型，模型的本构方程有积分型式和微分型式，两种型式的本质完全相同，它们在不同的应用领域各有其方便之处，积分型式多用于数值计算，微分型式多用于解析计算.

2.1 标准流变学模型

根据Boltzmann叠加原理，单向拉压松弛积分型本构方程表示为

式中:σ(t)为应力;Y(t)为松弛函数;˙ε(τ)为应变率.如果松弛模量Y(t)为由Voigt-Kelvin模型发展起来的prony级数形式，即

式(6)中a0、ar、br(r=1，…，N)是材料常数.将式(6)代入式(5)则可得到一种等价的微分形式本构方程:

式中pj和qj是决定于材料性质的常数.式(7)为标准流变学模型即通用化标准机械模型.本文在Mathematics6.0下，对标准流变学模型的3、5、7、9和11个参数进行数据拟合均不能很好描述该材料松弛变化规律，说明标准流变学模型不适合描述该材料.

2.2 分数导数模型

如可将式(7)表达为

式(8)中pm和qn是决定于材料性质的常数，βm、αn为大于零的非整数［10］，此时此式即是单向受拉压力情况下的分数导数模型.如果取M=0、N=1，则为最简单的常用的三参数分数导数模型.对三参数分数导数在突加恒应变ε(t)=ε0H(t)情况下，进行Laplace变换得到三参数松弛模量Y(t)的拉氏变换为

对式(9)进行Laplace逆变换得分数导数三参数下的松弛模量Y(t):

其实如图1所示是常用的分数导数三参数，也即分数导数Kelvin模型，图1中的粘壶是Abel粘壶，其阻尼力满足下式:

式(11)中0＜γ＜1，η的量纲为MPa·sα，由图1所示的分数导数三参数物理意义明确，其由一个弹簧和一个Abel粘壶并联.由图1及式(10)和(11)可得图1所示的模型的松弛模量为

图1 分数导数Kelvin模型

根据表1和3中的数据，利用最小二乘法拟合识别得到如式(12)所示的分数导数Kelvin模型的参数值为

代入式(12)得到该材料20℃时的分数导数Kelvin模型松弛模量函数:

图2为分数导数Kelvin模型松弛模量式(13)拟合曲线与实验数据图，可以看出，所有实验数据点基本都与曲线重合，这表明建立的分数导数Kelvin模型松弛模量很好的吻合了实验数据，证明模型建立是合理，分数导数Kelvin模型适合表达BTG塑料合金的粘弹特性.

图2 分数导数Kelvin模型松弛模量

3 实例计算

本文对该材料一个长1 5 cm，横截面为3 cm×5 cm=15 cm2的长方形试件一端固定，另一端加载20 N载荷，固定端与载荷夹持点之间有效长度12.16 cm，实验观察了20℃下14 d内的应变变化情况.显然这不同于恒应力的蠕变实验，因为在恒定载荷20 N工况下，随时间变化，在载荷作用下，长方形试件越来越长，截面积越来越小，所以应力越来越大，故不能算是蠕变实验.故也不能从式(13)松弛实验识别的参数得到的蠕变规律来描述该实验的应变规律，但是对于蠕变、松弛还是上述恒载荷实验，它们共同点是变化缓慢，某一时间段内各工况下的模量可认为是恒量，而且不管哪种实验，计算出的拉压模量应具有相同变化规律，所以计算出恒载荷下各时刻的模量，比较验证松弛实验拟合得到的20℃时的分数导数模型拉压模量能否描述该工况下的模量变化规律.从表4的数据表明，根据时温等效原理得到的长时间松弛实验数据，并由该数据识别建立的分数导数模型能较好描述材料在长时间恒定载荷下的拉伸模量变化规律，长时间的拉伸实验也证明了时温等效原理的处理方法对该材料是适用的.

表4 20 N恒定载荷长时间拉伸实验与分数导数Kelvin模型的松弛模型模量的比较

4 结论

1)分数导数Kelvin松弛模型能够准确表达BTG塑料合金的松弛变化规律.

2)由时温等效原理得到的长时间松弛实验数据，并以此识别参数建立的分数导数模型能较好描述该材料在长时间恒定载荷下的拉伸模量变化规律.

3)时温等效原理得到的长时间松弛实验数据与材料在长时间恒定载荷下的拉伸模量变化规律相同，这证明了时温等效原理适用于BTG塑料合金.

［1］周光泉，刘孝敏.粘弹性理论［M］.安徽:中国科学技术大学出版社，1996.

［2］裘怿明，刘从伟，时锋，等.硫化天然橡胶物理松弛时间的测量［J］.高分子学报，1997(6):582－584.

［3］金日光，黄惠金，周淑梅.关于高分子材料在应力松弛过程中应力－时间关系的研究［J］.北京化工大学学报，1996，23(3):31－38.

［4］刘岩，王忠金，宋辉，等.VPF粘性介质粘弹性本构关系研究［J］.材料科学与工艺，2008 16(2):176－180.

［5］黄明华，王浩伟，李险峰，等.原位合成TiB2/ZL109复合材料的高温蠕变行为［J］.复合材料学报，2005，21(1):36－40.

［6］朱雨涛，高乃奎，王新珩，等.含填料聚合物(EPDM)的松弛过程［J］.高分子材料科学与工程，1998，14 (3):97－99.

［7］GU Yi.Relaxation behaviour of GFRP unidirectional laminates［J］.Transactions of Nanjing University of Aeronautics＆Astronautics，1999，16(2):148－155.

［8］刘芳，彭林法，来新民.基于尺度效应的微细薄板本构模型的建立［J］.材料科学与工艺，2008，16(1): 31－33.

［9］BAGLEY R L，TORVIK P J.On the fractional calculus model of viscoelastic behavior［J］.Journal of Rheology，1986，30(1):133－155.

Study of sub-static mechanical behaviour for a new BTG plastic alloy

GONG Xian-sheng1，2，CHEN Xi-rui1，2，3
(1.The State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing 400030，China;2.College of Mechanical Engineering，Chongqing University，Chongqing 400030，China;3.College of Mechanical Engineering，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China)

Sub-static mechanical behaviour of BTG plastic alloy was researched and its accurate fractional derivative model was also established in this paper.The experiment of tensile stress relaxation was carried out during 1000s at 20、40、60、80 and 100℃.The data of relaxation modulus was acquired according to timetemperature equivalence principle and above-mentioned experiment data within 440 000 s at 20℃.Kelvin model of fractional derivative was established by parameter identification，and by which the evolvement law of modulus of bar specimens under constant load 20 N within 1 160 000 s can be accurately represented.Results show that time-temperature equivalence principle and Kelvin model of fractional derivative are suitable for BTG plastic alloy.

viscous-elastic;relaxation;time-temperature equivalence principle;fractional derivative;parameter identification

TB302.3;TB332 文献标志码：A 文章编号：1005－0299(2011)04－0079－05

2010－05－25.

重庆市科技攻关计划资助项目(CSTC，2007AC3015);重庆大学机械传动国家重点实验室自主研究基金资助项目(0301002109137).

龚宪生(1956－)，男，教授，博士生导师.

陈希瑞，E-mail:chxirui@126.com.

(编辑 程利冬)