曾亮

高职高等数学课程生活实例教学法实践研究

曾亮

高等数学是高职学生普遍认为学习困难的一门课程，因此采用一种好的课堂教学方法尤为重要。拟结合教学实践，将生活实例教学法引入课堂教学，该教学法从知识点导入、讲解和应用三个方面贯穿于整个课堂教学，这样不仅使学生容易掌握所学知识点，而且能提高实际应用能力。详细列举了该教学法的具体实践，以期对广大教师有所帮助。

课堂教学;生活实例教学法;通俗化

现有高职类高等数学教材中普遍存在的情况是:实际例子很少，即使有一些实际例子，一是与日常生活联系不够紧密，不能很好地贴近身边事;二是涉及知识点多，推导复杂，过于深奥。由于高职学生普遍数学基础差，对数学学习兴趣不浓，如果依照这样的教材授课，大部分学生就会感觉数学抽象枯燥，难以理解，听课就像听“天书”，与实际相差甚远，学了也没多大用处，从而很难有好的学习效果。为了改善这种状况，需要改革传统的课堂教学方法和模式，笔者在教学实践中尝试了生活实例教学法，结果表明学习效果比历届有明显提高，课堂更加活跃。

所谓生活实例教学法，就是在课堂教学中尽量把与学生生活周围比较贴近的和熟知的事或物作为素材，创设为情景语言或编创为数学知识的应用，并灵活运用于与学生的交流。所用生活实例应重点体现三点:一是贴近生活;二是简单易懂;三是略带趣味性。通过生活实例教学法，能让学生发现数学就在自己身边，体会到学习的快乐，使学生积极主动地投入到数学学习中，进而非常顺利地掌握所学知识点，并提高了学生用数学思想解决实际问题的能力。

一 具体实践

一堂课一般有三个重要阶段:知识点导入、讲解和应用，下面就这三个阶段分别介绍笔者在课堂教学中生活实例教学法的具体实践。

1.知识点导入。一堂高效的数学课，良好的开端是必不可少的。恰当的导入利于营造良好的教学情境，集中学生的注意力，能很快把学生的注意力吸引到新知识的学习中来，激发学习兴趣，启迪学生积极思维，唤起求知欲，为取得良好的教学效果奠定基础。下面举几个具体实际例子。

例1数列极限。借用经典的截丈问题，即我国古代《庄子》中所说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，解释其中的意义从而阐述极限思想。

例2函数的极限(x→∞时)。引入烤白薯问题［1］:将一块白薯放入烤箱中，若烤箱的温度为恒温100℃，问白薯的温度可否正好达到100℃，何时达到?通过解释物理学中的热交换原理，画出白薯的温度曲线图，从图中阐述当时间逐渐增大时，相应温度值的变化情况。

例3平均变化率(导数的概念)。引入投资方式选择问题:现有两种投资方式，一种是投资1000元可得到1100元的回报，另一种可得到1200元的回报，你会立即选择第二种方式吗?通过设立疑问，让学生思考后发现选择哪种方式和所需的年份有关。然后继续提出两个问题:(1)都需要1年，你选哪种投资方式?(2)若第一种需要1年，第二种需要3年，你会选择哪种投资方式?最后得出结论:仅仅知道绝对该变量100元或200元是不够的，但若知道了单位时间(1年)内的改变量(即平均变化率)，你很快会作出抉择。有了平均变化率的大致了解，接下来就引入经典的瞬时速度问题，从而得到导数的概念。

例4数学建模概念及步骤(函数的最值)。引入初中熟知的鸡牛数量问题:某农场养了一群鸡和一群牛，已知共有30个头和100只脚，问鸡、牛数量各为多少?根据此题解法，得出数学建模概念及步骤。

例5定积分概念。引用经典故事——“曹冲称象”，然后解释曹冲所用到的数学思想就是“间接分割(分割成很多石块)——近似(称出每一石块的重量)——求和(将石块重量加起来)”，接下来就提出曲边梯形求解问题，从而得到定积分概念。

例6无穷级数概念。引入经典的“芝诺悖论”:传说中的希腊英雄阿基里斯(Achilles)无论如何也赶不上一只乌龟:假设一开始乌龟在前100码(1码=0.9144米)处，阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当阿基里斯跑完了这100码时，乌龟向前跑了10码;当阿基里斯跑完这10码时，乌龟又向前跑了1码，……，如此下去，阿基里斯永远也跑不过这只乌龟。这显然是不可能的，但你如何能驳倒这一诡辩呢?根据此题的解法，得出无穷级数概念。

例7旋转曲面。引入工艺品的形成过程:也许你去过工艺品制作间看过工艺品的制作过程，也许你在电视上见过工艺品的制作过程。现假设我们要制作一个花瓶，制作时，要手扶泥坯，将其放在旋转台上，通过手扶泥坯，使旋转过程中的胶泥逐渐成型，从而形成工艺品坯，再烧制成工艺品。然后解释这样制作出的工艺品的外表面就为旋转曲面，从而得出旋转曲面的概念。

2.知识点讲解。针对难以理解的数学概念、数学定理和数学解题思路，找一些日常生活中熟悉的、具有相似思想的例子，与这些做类比，使抽象内容通俗化、形象化。下面列举几个具体例子。

例1基本初等函数。基本初等函数包括六类函数:常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，每一类函数都有自己特定的性质。这好比金庸笔下的《倚天屠龙记》中将正宗门派分为六大门派:少林、武当、昆仑、峨眉、华山、崆峒，每派都有自己独到的练功方法。

例2无穷小的比较。同为无穷小，但接近0的速度有快有慢。这好比同是由肇庆到北京，可以选择不同的方式到达，有徒步、骑单车、坐火车、坐汽车、乘飞机等方式。很明显，乘飞机比徒步快很多，说明乘飞机比徒步在速度上高一个等级(高阶)，即徒步比乘飞机在速度上低一个等级(低阶);坐火车和坐汽车在速度上可能差不多(同阶)，如果恰好非常接近的话，则可认为速度等级上是基本相等的(等价)。

例3一元函数的连续性概念［2］。在讨论函数y=f(x)的连续性问题时，就以室外有一根晾衣服的铁丝为例，y=f(x)表示铁丝曲线，假如一根铁丝有三种不同的状况，(1)穿过铁丝的一个小环能够顺利地从一端滑到另一端(在滑行过程中小环始终保持与铁丝有接触点)，则表示铁丝是光滑的，也就认为函数在其上的任意点处连续;(2)铁丝中间有一处断开，小环无法通过，则认为函数在此处不连续(或称为间断)，而且这种间断是比较严重的，称为第二类间断点;(3)铁丝中间有一处打了结，其上的小环无法通过，此时认为函数在此处间断，但这种间断是可以“原谅的”，称为第一类间断点。

例4可导点与不可导点。要评价一位理发学徒的技术是否过关，很重要一条就是看理出来的发型的边缘线是否为光滑曲线，即不出现断层、V字型等特征。

例5复合函数的求导。复合函数求导过程是:由外往内，一层一层去除(求导)。这类似去裳原理，需从外面开始一件一件脱，不能两件一起脱(两层一起去掉)，也不能从里往外脱(先对里层函数求导，再求外层函数的)。

例6泰勒公式。为找一个多项式函数Pn(x)逼近f(x)，那么这个多项式函数应该和f(x)具有许多相似点(特征)，相似点越多就越逼近。这类似我们常说两个双胞胎很像，是因为他们之间具有许多相似的特征，比如相貌，身高，身材，动作，语言，习惯，性格等等。相似的特征越多，则他们就越相像，达到几乎一模一样。为了使Pn(x)和f(x)之间具有许多相似的特征，那么则要求:(1)x0处相交;(2)x0处切线相同;(3)x0处弯曲方向一致等等，一共要求n个特征相似，即满足……。

例7极值点。可能的极值点包含了驻点和不可导点，这两种点究竟是不是极值点需要通过一定的法则来判定，在判定是极值点后，还要判定其是极大值点还是极小值点。这类似于警察断案，为确定凶犯，需要抓捕所有与本案有关的嫌疑犯，不能漏掉一人，接下来通过一定的方法找出谁是凶犯。当确定凶犯后，假如凶犯不止一人，那么下面就是具体判断出谁是主犯，谁是从犯。

例8极值与最值关系。极值是一小范围内最大或最小，是从局部的角度观察，而最值是从整个范围即全局的角度来观察。假如将全校学生视为整个范围，现在有一高度函数，那么全校最高的学生的高度就是这个函数的最大值，而我们这个班最高的学生的高度是函数的极大值(只在这个班范围内是最大)。

例9定积分的概念。定积分实际上是满足一定条件的函数经过“分割——近似——求和——取极限”的过程后得到的结果。我们可以把这四个过程封装起来，看作一处理器，这个处理器提供三个接口，f(x)、a和b，只要提供给这三个接口的数据有效，那么经过处理器后就会通过处理器的输出端得到一个结果，这个结果就是定积分。

3.知识点应用。选取一些生活中的实例作为知识点的应用，使学生能够体会到原来数学就在我们身边，有利于提高学生学习的兴趣和积极性，并提高分析实际问题和解决实际问题的能力。下面列举一些笔者在教学实践中用到的实际例子。

例1数列的极限。商场折扣问题:某商场在国庆期间推出“200送200”优惠活动，即用现金消费满200元则送价值200元的优惠券。优惠券的使用方)式是:100元现金+价值100元优惠券=价值200元商品。试问(1)从顾客角度出发，最理想的优惠折扣过程是怎样?并解释为什么是最理想的。(2)顾客能否享受到5折优惠?

例2第二个重要极限。复利计算［4］:某顾客向银行存入本金p元，n年后他在银行的存款额是本金及利息之和。设银行规定年利率为r，根据下列不同的结算方式计算顾客n年后的最终存款额。(1)每年结算一次;(2)每月结算一次，月利率为;(3)每年结算m次，每个结算周期的利率为;(4)当m→∞时，结算周期为无穷小，这意味着银行连续不断地结算、付利息，这种存款方法称为连续复利。试计算在该情况下顾客n年后的最终存款额。

例3零点定理。椅子放稳问题:在日常生活中，把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地。试从数学的角度加以解释。

例4介值定理。切煎饼问题［5］:一个煎饼，不论形状如何，必可切一刀，使其面积二等分。

例5函数的最值。卖项链问题:某学生在暑假期间制作并销售项链，他以10元一根出售，每天可售20根。当他把价格每提高1元时，他每天就少售2根。(1)求价格函数(即价格与销售量的函数关系，假定它是线性的);(2)如果制作一根项链的成本是6元，他以什么价格出售才能获得最大利润?

例6定积分的性质。赛马问题:两个人赛马，若在比赛中的任何时刻甲的马的速度都比乙的马的速度快，试问是否甲的马一定获胜?请解释你的结论。

例7微分方程。死亡时间判定:当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37℃，按照牛顿冷却定律开始变凉。假设2小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变。(1)求出谋杀发生后尸体的温度H是如何作为时间t(单位:h)的函数随时间变化的;(2)最终尸体的温度将如何?用图形和公式两种方式表示出这一最终结果;(3)如果尸体被发现时的温度是30℃，时间是下午4时整，那么谋杀是何时发生的?

二 结语

众所周知，数学是一门具有高度抽象性的学科，是自然科学的基础。所以要讲好高等数学课就是一门大而难的学问。将生活实例引入课堂教学不仅克服了数学概念的抽象性给学生所带来的困惑，而且实现了数学语言的生活化、数学概念的形象化，并能很好地与实际相结合，使学生真正感觉到数学不再抽象、难懂和难以应用。生活实例教学法应用于课堂教学，实践证明对提高教学质量是效果显著的。关于生活实例教学法的实践希望今后有更大的进展，也期望对广大教师有所帮助。

［1］王信峰，等.大学数学简明教程［M］.北京:高等教育出版社，2001，48 －96，260 －261.

［2］郭永发.＜高等数学＞课堂教学的通俗化［J］.青海大学学报(自然科学版)，2004，22(6):93－97.

［3］曾亮.整体概念在高等数学教学中的应用［J］.高等函授学报(自然科学版)，2010，23(2):48－50.

［4］刘树利，等.计算机数学基础［M］.北京:高等教育出版社，2004，42 －43，87 －88.

［5］孙胜先，余丙森.几道关于连续函数介值性质的应用题［J］.高等数学研究，2010，23(5):41 －42.

On Teaching by Living Cases for Advanced Mathematics in Higher Vocational Colleges

Zeng Liang

Advanced mathematics is a course which is generally hard to learn for students in higher vocational colleges，so it is particularly important that the teacher adopts a good teaching method in class.Combining with the teaching practice，the paper introduces teaching by living cases method which concerns three aspects，such as knowledge introduction，interpretation and the application.This method is not only easy for college students to master what they studied，but also enhance the practical ability to solve the mathematic problems.The paper discussed the specific practices of the new teaching method.

classroom teaching;the living case teaching method;popularization

G712

A

1672－6758(2011)07－0026－2

曾亮，硕士，讲师，肇庆科技职业技术学院，广东·肇庆。邮政编码:526114

肇庆科技职业技术学院教学改革研究项目“高职高等数学课堂教学手段与方法研究”(201001);项目负责人:曾亮

Class No.:G712Document Mark:A

(责任编辑:池春姬 郑英玲)