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(天津师范大学数学教育科学与数学奥林匹克研究所 天津 300387)

角元塞瓦定理的应用

●李建泉

(天津师范大学数学教育科学与数学奥林匹克研究所 天津 300387)

在数学学习中，平面几何是训练学生思维能力的重要环节.竞赛中与此相关的知识对于参加自主招生考试的学生来说帮助很大.下面通过塞瓦定理及相关的一些例子加以说明.

塞瓦定理P是△ABC所在平面上的一点，直线PA,PB,PC与直线BC,CA,AB分别交于点D,E,F，则

塞瓦定理还有一个三角形式的表述.

角元塞瓦定理P是△ABC所在平面上的一点，直线PA,PB,PC与直线BC,CA,AB分别交于点D,E,F，则

角元塞瓦定理的逆定理若点D，E，F分别是直线BC，CA，AB上的点，且满足

则AD，BE，CF三线交于一点.

下面只给出当点P在△ABC内时塞瓦定理的证明，其他情形的证明类似.

在△PAB中，由正弦定理可得

即

PA·sin∠BAD=PB·sin∠ABE.

同理可得

PB·sin∠CBE=PC·sin∠BCF;

PC·sin∠ACF=PA·sin∠CAD.

将这3个等式相乘，可得

sin∠BAD· sin∠CBE·sin∠ACF=

sin∠ABE·sin∠BCF·sin∠CAD，

即

下面给出几个应用角元塞瓦定理的例子.

例1已知O为△ABC内一点，且满足

∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO，

求证：△ABC的3条边长成等比数列.

(2011年北京大学保送生考试试题)

分析条件中明显有AO，BO，CO三线交于一点O的条件，但没有给出这3条线与对边的交点，且还给出了与角度有关的条件，应用角元塞瓦定理，再结合分析的方法，可以作为一条寻求解决问题的途径.

图1

证明如图1所示，设∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=α,∠ABO=β，∠BCO=γ，则4α+β+γ=π.由角元赛瓦定理可得

即

sin2α=sinβsinγ.

下面证明BC2=AB·AC.因为

BC2=AB·AC

⟺ sin22α=sin(α+β)sin(α+γ)

⟺ 1+cos(β+γ)=cos(β-γ)+cos2α

⟺ 1+cosβcosγ-sinβsinγ=cosβcosγ+sinβsinγ+

1-2sin2α

⟺ sin2α=sinβsinγ.

注三角形内满足∠BAO=∠CBO=∠ACO的点O,称为△ABC的布洛卡点.

例2P为锐角△ABC内一点，直线la和PA关于∠A的角平分线对称，直线lb和PB关于∠B的角平分线对称，直线lc和PC关于∠C的角平分线对称.

(1)证明:la,lb,lc三线交于一点Q；

(2)若点P在3条边……