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(绍兴县实验中学 浙江绍兴 312030)

函数的妙用

●毛幼娥

(绍兴县实验中学 浙江绍兴 312030)

函数的实质是表述运动与变化过程中的变量间的动态关系.培养学生运动与变化的观念,是中学数学教学的重要目标之一.本文结合实例对与之有关的问题作一些剖析，以便能从中领略此类问题的一些处理方式和解决策略.

1 构造函数证明不等式

根据式子的特点，构造适当的函数，以利用其性质解题.

分析本例不等式的左边与右边有明显的共同特征,据此可构造一个新函数，运用此函数的递增性给出证明.

因此f(x)在[0，+∞)上是增函数，而

0lt;|a+b|≤|a|+|b|，

于是

f(|a+b|)≤f(|a|+|b|),

即

例2设x,y,z∈(0,1)，求证：

x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)lt;1.

分析此题中的变量x，y，z有轮换对称性,可考虑构造其中一个变量的函数，利用一次函数的单调性给出证明.

证明设f(x)=(1-y-z)x+y+z-zy-1(0lt;xlt;1),把y,z看作常数，则f(x)是关于x的一次函数.因为

f(0)=y+z-yz-1=-(y-1)(z-1)lt;0,

f(1)=(1-y-z)+y+z-yz-1=-yzlt;0,

所以对于0lt;xlt;1，都有f(x)lt;0，即

(1-y-z)x+y+z-zy-1lt;0,

故

x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)lt;1.

例3a，b，c是三角形的3条边长，求证：

2 妙用函数图像解方程

华罗庚先生曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”.把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到优化解题的目的.

例4设方程-x2+4x-3-m=0在0≤xlt;3上有唯一解，求实数m的取值范围.

分析方程左边是二次函数，它在区间上有唯一解.这些特征适宜借助函数图像，利用数形结合解题.

图1

解考虑函数y=-x2+4x-3和y=m，并在同一坐标系内作出这2个函数的图像(如图1).y=m的图像是与y轴垂直的直线，可以上下平行移动.在移动过程……