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(镇海中学 浙江宁波 315200)

符号化与变元表示思想的应用

●周海军

(镇海中学 浙江宁波 315200)

数学思想指导着数学问题的解决.中学数学中用到的各种解题方法都体现了一定的数学思想，符号化与变元表示思想是一种最基本的数学思想.数学的高度抽象性与广泛应用性，使符号化的语言与变元表示思想成为数学中十分重要的思想．

符号化与变元表示思想是指将所研究的问题用数学符号与变元来加以表述，转化为形式化的数学问题后，按照形式符号的规律、规则来进行操作，直至问题的圆满解决.

在中学数学中，符号化与变元表示思想主要体现在函数与方程思想、换元方法、参数方法等内容上.

1 函数与方程思想

函数思想主要是指用函数的概念与性质去表述问题、分析问题和解决问题；方程思想主要是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或不等式或它们两者的混和，然后通过解方程(组)或不等式(组)去解决问题．

在很多时候，函数与方程是可以相互转化的，譬如函数y=f(x)就可以看作关于x,y的二元方程f(x)-y=0.函数的研究离不开方程．

例1已知二次函数y=f1(x)的图像以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图像与直线y=x的2个交点间距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x)．

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)证明:当agt;3时,关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数解．

(1)解设f1(x)=mx2.由f1(1)=1，得m=1,因此

f1(x)=x2．

故

(2)证法1由f(x)=f(a),得

即

ax2+a2x-8=0.

由agt;3,Δ=a4+32agt;0,得

因为

x2lt;0,x3gt;0,x1=agt;0，

所以

x1≠x2,x2≠x3．

若x1=x3,即

则

即

a4=4a,

解得

这与agt;3矛盾,于是

x1≠x3，

故原方程f(x)=f(a)有3个实数解．

说明第(2)小题是一个解方程的问题……