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(新星学校 浙江苍南 325800)

例谈方程整数解问题的解法

●易永彪

(新星学校 浙江苍南 325800)

在各类数学竞赛和高中自主招生考试中,二次方程整数解问题备受关注.它将古老的整数理论与传统的初中数学知识相结合,涉及知识面宽、范围广,往往需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧,综合性强,对学生的能力有较高的要求.本文将对方程整数解问题的解法与基本策略作一探索,旨在抛砖引玉.

1 巧用因式分解

例1方程-m4+4m2+2nm2+2n+5=0的正整数解有

( )

A．1组 B．2组 C．4组 D．无穷多组

(2009年浙江省温州中学自主招生考试试题)

解原方程可化为

m4-(2n+4)m2-(2n+5)=0,

可得

[m2-(2n+5)](m2+1)=0.

因为

m2+1gt;0,

所以

m2=2n+5.

(1)

因此m为奇数,不妨设m=2k+1(k为自然数),代入式(1)得

k2+k-1=2n-2.

因为k2与k的奇偶性相同,所以k2+k-1是奇数,不能被偶数整除,因此2n-2只能为1，从而

n=2,m=3,

原方程只有1组正整数解.故选A.

例2已知方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0(a≠0)至少有一个整数根,求整数a的值.

解已知方程经整理得

[ax-(a-5)][ax-(2a-3)]=0,

解得

由题意知a为整数,因此a的取值为

1,3,5,-1,-3,-5.

评注分析方程的形式特征,可采用因式分解、求根公式等方法求得方程的根,再结合整除性质、奇偶性等进行求解.

2 巧用判别式

例3设m为整数，且4lt;mlt;40，方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0有2个相异整数根，求m的值及方程的根．

解由题意知

Δ=4(2m-3)2-4(4m2-14m+8) =4(2m+1).

对4lt;mlt;40的整数m，要使Δ=4(2m+1)为完全平方数的m只能取为12和24，而

因此当m=12时，x1=16,x2=26；当m=24时，x1=38,x2=52.

例4已知p为质数,使二次方程x2-2px+p2-5p-1=0的2个根都是整数,求出p的所有可能值.

解由已知整系数二次方程有整数根,得

Δ=4p2-4(p2-5p-1)=4(5p+1)

为完全平方数,从而5p+1为完全平方数.因此可设5p+1=k2.注意到p≥2,因此k≥4,且k为整数，于是

那么k+1与k-1中至少有一个是5的倍数,即k=5a±1(a为正整数),因……