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(龙西路345号中301 江苏苏州 215128)

龙凤曲线切线的几个有趣性质

●钱永康张斑竹

(龙西路345号中301 江苏苏州 215128)

定义我们把椭圆b2x2+a2y2=a2b2和a2x2-b2y2=a2b2(agt;bgt;0)称为龙凤曲线(如图1)，前者称为龙曲线，后者称为凤曲线.

本文介绍龙凤曲线切线的几个有趣的性质.

定理1已知龙凤曲线，过定点M(m,0)的直线l1与椭圆交于点A,B，过点M的直线l2与双曲线交于点C,D(如图1)，过点A，B作龙曲线的2条切线交于点P，过点C，D作凤曲线的2条切线交于点Q，则PQ⊥x轴.

图1

证明如图1所示，设A(acosθ1,bsinθ1),B(acosθ2,bsinθ2)，则过点A,B的切线方程为

解得点P的坐标为

从而

由kAM=kBM得

化简得

则

又设C(asecα1,btanα1),D(asecα2,btanα2),则过点C,D的凤曲线的2条切线方程分别为

由kCM=kDM得

化简得

则

因此xP=xQ,即PQ⊥x轴.

证法1设A(acosθ1,bsinθ1),B(acosθ2,bsinθ2),C(asecα1,btanα1),D(asecα2,btanα2),则

于是切点弦AB，CD的直线方程分别为

令y=0,代入上述2个方程得

由定理1的证明知

由此知

证法2设P(m,y0)，则AB，CD的直线方程分别为b2mx+a2y0y=a2b2和b2mx-a2y0y=a2b2.令y=0,得

定理3已知龙凤曲线,定点M(m,0)和N(n,0)且mn=a2，过点M,N作直线l1⊥x轴，l2⊥x轴，l1上任取一点P，作凤曲线的2条切线PA，PB，点A，B为切点，过l2上一点Q，作龙曲线的2条切线QC，QD，C，D为切点，则AB过点N，CD过点M.

图2

证法1如图2所示，设C(acosθ1,bsinθ1)，D(acosθ2,bsinθ1)，得点Q的坐标为

因为Q∈l2，且l2⊥x轴，所以xQ=n，即

又直线CD的方程为

令y=0得

与前式比较得

这正是点M的横坐标，说明CD过定点M(m,0).又设A(asecα1,btanα1)，B(asecα2,btanα2)，则点P的坐标为

因为P∈l1,且l1⊥x轴，所以xP=xM=m,则

而直线AB的方程为

令y=0得

证法2设P(m,y1),Q(n,y2)，则AB,CD的直线方程为b2mx-a2y1y=a2b2和b2nx+a2y2y=a2b2.令y=0得

因为a2=mn,所以

xN=n,xM=m,

这说明AB过点N(n,0),CD过点M(m,0).

图3

定理4已知龙凤曲线,定点M(m,0),N(n,0)且mn=a2,过点M的直线l1⊥x轴与龙曲线交于点A，B，过点N的直线l2⊥x轴与凤曲线交于点C,D，则A，B处龙曲线的切线均过点N，且C,D处凤曲线的2条切线均过点M.

证明设A(acosθ1,bsinθ1)，则点A处龙曲线的切线方程为

bxcosθ1+aysinθ1=ab,

令y=0得

xcosθ1=a.

又A∈l1,且l1⊥x轴，于是acosθ1=m,代入上式得

这正是点N的横坐标，说明过点A的切线过点N.同理可得过点B的龙曲线的切线也过点N(n,0).

又设C(asecθ,tanθ)，则过点C的凤曲线的切线方程为

bx-aysinθ=abcosθ，

令y=0得

x=acosθ.

因为C∈l2，且l2⊥x轴，所以asecθ=n，代入上式得

这正是点M的横坐标，说明过点C的切线过点M(m,0).同理可知,过点D的切线也过点M.

定理5已知龙凤曲线,定点M(m,0),N(n,0),且m·n=a2,龙曲线的长轴为AB，过点M,N的直线l1⊥x轴，l2⊥x轴，l1上一点P，连结PA，PB与凤曲线交于点C，D，连结QA，QB与龙曲线交于点E,F，则CD过点N，EF过点M.

图4

证明设A(-a,0),B(a,0)，E(acosθ1,bsinθ1)，F(acosθ2,bsinθ2)，Q(n,y0).由kAQ=kEQ和kBF=kQF,得

两式相除得

由EF的直线方程为

令y=0得

这正是点M的横坐标,说明EF过点M(m,0).

又设C(asecθ3,btanθ3)，D(asecθ4,btanθ4)，P(m,x0).由kCA=kPA,kDB=kPB得

两式相除得

又CD的直线方程为

令y=0得

这正是点N的横坐标，说明CD过点N(n,0).