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(瓶窑中学 浙江杭州 311115)

在探究中升华数学习题的价值

●陈建美

(瓶窑中学 浙江杭州 311115)

荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾说过：“数学教学方法的核心是学生的‘再创造’”.数学教学不仅要让学生获得知识，更重要的是让学生拥有智慧、学会思考和再创造.知识关乎事物，智慧关乎人生，知识能看到一块石头就是一块石头，一粒沙子就是一粒沙子，做一道习题算一道习题，智慧则能从石头和沙子中看到风景，从习题中得到启发，获得创新的灵感.

数学探究是高中数学新课程中引入的一种新的学习方法，通过对习题的探究，有助于实现知识的再创造，培养学生的数学思考能力.如何对习题进行探究呢？通常可以改变命题的条件或结论，在类比中引导学生的探究过程.

图1

分析如图1所示，要求平行四边形PAOB的面积，关键是要知道动点P的坐标.为方便解题,不妨设点P(asecθ,btanθ)(θ∈R),由此可求出点A，B的坐标，进而求出平行四边形PAOB的面积.

因为点P到直线OA的距离为

所以平行四边形PAOB的面积为

故如此构造的平行四边形的面积是定值，即为双曲线的实半轴和虚半轴积的一半.

因此

从而平行四边形PAOB的面积为

因为

(ay0+bx0)(ay0-bx0)lt;0,

于是平行四边形PAOB的面积为

S=|OA|·A=

即

问题研究到这里好象可以结束了，但如果再用类比的方法去探究，又可得到以下性质(由双曲线类比到椭圆).

解设动点P(acosθ,bsinθ)(θ∈R),则平行线PA的直线方程为

于是平行四边形PAOB的面积为

如此构造的平行四边形的面积最大值为椭圆的长半轴和短半轴积的一半.

图2

(1)|OM|·|ON|=a2为定值；

(2)|OQ|·|OR|=b2为定值.

平行线PR的直线方程为

令y=0,则

|OM|=|asecθ-atanθ|,|ON|=|asecθ+atanθ|,

得|OM|·|ON|=a2为定值.同理令x=0,可得|OQ|·|OR|=b2为定值.

证明(1)设点P(x0,y0)，直线l1′,l2′过点P且与l1,l2分别平行，则直线l1′的方程为

直线l2′的方程为

令y=0,得

由|OM|·|ON|=a2得

又因为点M，N在x轴的同向，所以

即

(1)|OM|2+|ON|2=2a2为定值；

(2)|OQ|2+|OR|2=2b2为定值.

一个看似平谈的双曲线习题经过了深入的探究和知识的再创造，归纳类比出曲线的其他性质，实现了知识的创新，有力地激发了学生的学习兴趣，启发了学生如何以已有的数学知识和经验为基础对知识进行再创造的过程.教师要创造合适的条件，提供更多、更好的具体案例，让学生在实践的过程中，自己探究出各种数学的性质，让学生的各种思维能力(归纳类比、演绎证明、反思与建构等)得到充分的锻炼.