区燕玲 陈麒羽 陈丽娟

（华南师范大学数学科学学院 广东广州 510631）

利用留数计算广义积分

区燕玲 陈麒羽 陈丽娟

（华南师范大学数学科学学院 广东广州 510631）

利用留数来计算实函数的广义积分可以带来很大的方便。本文总结了几种可以利用留数来计算的广义积分的类型，对某些类型进行了推广，并且在原有文献的基础上弱化了某些条件。

留数；留数定理；广义积分；有理函数；三角函数；对数函数；幂函数

定理1[1]：设是有理函数，分母在实轴上不为零，并且分母的次数要比分子的次数至少高2。那么其中表示函数f(z)在上半平面内的所有孤立奇点处的留数总和。这就是我们常说的“围道法”，我们就不作证明了。

Jordan引理[2]：设函数f(z)在半圆周R充分大)上连续，且在圆弧CR上一致成立，则

定理2[2]：设为有理函数，如果P(x)，Q(x)满足下列条件：

(1)Q(x)比P(x)的次数至少高一次；

(2)在实轴上，()0 Q x≠；

图1

证明：令（如图1所示），其中CR+L为正取向(逆时针方向)，则：令：R→+∞，有：

又因为Q(x)比P(x)的次数至少高一次，故在CR上，由Jordan引理，得故故定理可证。

推论1：设为有理函数，如果P(x)，Q(x)满足下列条件：

(1)Q(x)比P(x)的次数至少高一次；(2)在实轴上，Q(x)≠0；(3)m, n>0。则：

证明：由于1)、2)显然可证。再由积化和差公式以及1)、2)结论，3)、4)、5)均可证。

引理1[1]：设函数f(z)在上连续，而且其中A有限，则其中ΓR为位于D内的圆弧方向去逆时针方向。|

引理2[1]：设函数f(z)在圆环形闭区域：上连续，记的方向为逆时针，若其中A有限，则

其实，定理2中的条件(2)还可弱化，将其推广得到如下定理:

定理3[2](定理2的推广)设为有理函数，如果P(x)，Q(x)满足下列条件：(1)Q(x)比P(x)的次数至少高一次；(……