王学永

(重庆大学数学与统计学院，重庆 401331)

2002年，Fletcher和Leyffer［1］提出了滤子方法来求解非线性约束优化问题。该算法接受新的测试点的条件更加温和，即一个测试点被滤子接受，当且仅当目标函数值或者违反约束度有充分的下降。自此，许多学者进行这方面的研究，并出现大量的成果［2－3］，但这种方法仍然会遇到马洛托斯效应。罚函数方法在适当选取罚参数时会避免马洛托斯效应。受这些思想的启发，提出了一种低阶罚函数滤子算法［4－5］，在温和的条件下证明了算法的全局收敛性。

1 问题与算法描述

本文考虑如下非线性约束优化问题:

其中 f(x):Rn→R，c(x)=(c(x)):Rn→Rm是连续可微函数。

ii∈I∪E

记当前迭代点是xk，定义一种低阶罚函数c－(x)=(ci－(x))i∈I∪E，其中令

显然在xk处，若第i个约束函数满足，则有ci－(x)=0。本研究利用这种低阶罚函数定义违反约束度函数为h(x)=‖c(x)‖，同时定义p(x)=f(x)+δ‖c－(x)‖。

在信赖域方法中给定测试点xk，信赖域半径ρ≥0，通过求解如下二次规划问题得到步长dk:

其中Bk是对称矩阵。

在本文中若子问题QPk相容通过上述方法可求得下一迭代点xk+1;若子问题QPk不相容，则通过可行性恢复阶段算法(算法B)得到新的迭代点xk+1。

定义1 数对(h(x1)，p(x1))控制(h(x2)，p(x2))，当且仅当 h(x1)≤h(x2)，p(x1)≤p(x2)。

定义2 滤子是一列不能相互控制的数对。

注1:在滤子方法中，一个点x被接受当且仅当它被当前迭代点xk和当前滤子中任何其他迭代点接受。本文中给定α∈(0，1)，若p(x)≤p(y)－αh ( x)或h(x)≤(1－α)h(y)，则称x能被 y接受。若x被滤子中所有数对接受，则称x被滤子接受。

本文用如下方法调整滤子集:Fk+1=Fk∪{k+1}Dk+1。

定义3

算法A

步骤0 给定

步骤1 计算

步骤2 求解QPk得到步长dk。

步骤3 若dk=0，则停;若QPk无解，进入算法B得到dk，令xk+1=xk+dk，转步骤1。……