陈东立，郑焕平，史艳维

(1.西安建筑科技大学理学院，西安 710055;2.西安培华学院 基础部，西安 710125)

20世纪60年代A.Robinson［1］创立了非标准分析。非标准分析是利用数理逻辑方法来探讨和刻画微积分的理论基础，为数学开辟了新的研究领域。自非标准分析创立以来，国内外许多的数学家利用非标准分析理论，对拓扑空间［2］、泛函分析、微分方程、概率论［3］、代数数论、数理经济等多方面领域做出了深入细致的研究与刻画。

连续函数是数学分析的主要研究对象，而可测函数要比连续函数内容更加丰富，应用更加广泛。测度通俗地讲就是测量几何区域的尺度。本文是在非标准模型下引入逐点可测性的概念，从而得到一些相应性质定理，并讨论了逐点可测性与Loeb可测性及泛Loeb可测性之间的关系，进而使得在饱和原理下，内函数的逐点可测性有意义且等同于一般的可测性。

设X、Y是无限集，R是实数集，V(S)是以S为个体集的超结构，V(*S)是V(S)的非标准模型，*X是X 的扩张，X⊂*X，Y⊂*Y。

定义1 设A是一个集合，Ω⊆P(A)，若对于Ω的任意有限个元素A1，A2，…，An，均有，则称集族Ω具有有限交性质。

定义2［4］设κ是无限基数，V(*S)是κ饱和的，即对于V(*S)中的任一具有有限交性质的非空内集族{At}t∈T，且 card(T)＜ κ，有特别地，如果V(*S)对于κ≥card(V(S))是κ－饱和的，则称V(*S)是多饱和的。

定义3 设X是任意集合，A是X的一个子集族，如果A满足

① X∈A。

② 对任意集A∈A，有Ac∈A。

③ 对任意有限序列A1，…，An∈A，有，则称A为X上的一个代数。

定义4 设Ai⊆P(Xi)，i=1，2是代数，则称函数 f:X1→X2关于A1和A2可测，当且仅当对所有C2∈A2，有 f－1(C2)∈A1。

在拓扑空间上可以定义逐点连续的概念:设X，Y是拓扑空间，函数f:X→Y，x∈X，如果对f(x)的任意邻域V，存在x的邻域U，使得f(U)⊆V，则称f在点x处连续，且一个函数在某一个集合上连续当且仅当它在此集合上的每一点处连续。……