徐福后，张玉祥

（第二炮兵工程学院 203室，西安 710025）

1 引 言

裂纹是最典型的结构损伤形式之一，裂纹的损伤检测对于保证设备的正常工作、预防突发灾难性事故具有重要意义。基于振动的裂纹损伤检测方法因其高效性被广泛关注，其检测原理是：当结构出现裂纹时，动力学特性参数如固有频率、振型将发生相应变化，从而通过监测结构固有频率的变化检测结构的裂纹损伤。目前，许多学者对裂纹梁结构固有频率和模态开展了研究[1-3]，这些研究大多针对Euler-Bernoulli梁结构，研究成果只能应用于梁结构细长比较大的情况。对于细长比较小的梁结构，Euler-Bernoulli梁理论会产生较大偏差，必须采用Timoshenko梁理论，由于Timoshenko梁理论考虑了剪切变形和转动惯量的影响，问题更为复杂、研究难度更大[4]，因而目前含裂纹Timoshenko梁研究较少[5]。

本文研究含裂纹Timoshenko梁的自由振动问题，将裂纹模拟为一无质量的扭转弹簧，扭簧的柔度为裂纹深度和截面高度的函数，采用传递矩阵法，结合具体的边界条件给出含裂纹梁的频率方程。对简支梁进行数值模拟，研究裂纹对梁的固有频率的影响。

2 Timoshenko梁自由振动分析

考虑一矩形截面Timoshenko梁，其几何尺寸是：长为L，宽B，高h，如图 1所示。

图1 含裂纹Timoshenko梁Fig.1 The cracked Timoshenko beam

图2 含裂纹Timoshenko梁弹簧等效模型Fig.2 The equivalent model of cracked Timoshenko beam

裂纹在距左端LC处，深度为hc。将裂纹处模拟为一无质量扭转弹簧，如图2所示，扭转弹簧的柔度系数可以表示为裂纹深度和高度的函数[6]，

对于完整Timshenko梁（不含裂纹），弯曲变形时横向位移可以分解为

式中，w1（x,t）为弯曲变形引起的，w2（x,t）为剪切变形引起的，因此有