王冬姣

（华南理工大学 土木与交通学院，广州 510640）

1 引 言

直立圆柱体被广泛地应用于海洋结构物上，如现代Spar生产平台的主体一般为单圆柱体构造，垂直悬浮于水中，因此研究波浪与直立圆柱体作用问题是最基本的。Morison等[1]提出了计算小尺度直立圆柱体波浪力的半经验公式，即著名的Morison公式。对于相对尺度较大的直立柱体，需要考虑流场的绕射，MacCamy和Fuchs[2]对有限水深中由海底伸向水面的大直径圆柱体得到了波浪绕射的解析解。对于大型浮式直立圆柱体来说，需要同时考虑其绕射及辐射问题。Garrison[3]用三维边界元法建立了有限水深条件下波浪与任意形状结构物相互作用的计算模型，将水深半径比等于10近似作为球体和浅吃水直立圆柱体的深水情况，得到了有限水深及无限水深情况下水面浮式直立圆柱体的水动力系数及其运动响应。Sabunca和 Calisal[4]，Yeung[5]及Bhatta和 Rahman[6]采用特征函数展开法，通过分区离散及边界匹配的方法讨论了有限水深下穿透水面的直立圆柱体的辐射问题。文献[4]将水深半径比等于20定义为深水情况。本文讨论采用特征函数展开法计算浮式直立圆柱体水动力系数时可作为深水情况处理的水深半径比。

图1 坐标系及流域划分Fig.1 Coordinate system and flow field discretization

2 基本方程

假设水是不可压缩的无粘无旋流体，圆柱体的运动幅值足够小，则可用线性势流理论求解。设浮式直立圆柱体的半径为a，吃水为T，水深为d，坐标系统及流域划分如图1所示。圆柱体在流场中作纵荡，垂荡和纵摇运动产生的辐射速度势可表示成

无穷远处辐射条件

根据Bernoulli方程，可得流场中压强p

作用在圆柱体q（ q= 1 ，3，5）模态上的辐射载荷Fq，可表示成：

式中，Sb为物体湿表面积；n1，n3分别为物面单位外法线矢量在x，z方向的投影，n5=（z-zg）n1-xn3；zg为圆柱体重心的垂向坐标。由 l（l=1，3，5）模态运动引起的在第 q（q=1，3，5）模态方向上的水动力系数，即附加质量Aql和阻尼系数Bql为

其无因次系数可表示为：

3 流场速度势的求解

把流场分解为内、外两个子区域，分别记为I、II。在外域I上将速度势写成

式中，m=0时，εm=1；m≥1时，εm=2；Hm（kr）为第一类m阶Hankel函数；Km（μnr）为第二类m阶修正Bessel函数；Hm′（ka）和Km′（μna）为相应函数对自变量的求导函数。

在内域II上的速度势可写成

式中，Im（λnr）为第一类m阶修正Bessel函数。不同模态运动引起的特解（r,θ,z）可用下式表示：

利用内、外子区域交界处压力连续条件，速度连续条件及物面条件，可得如下线性方程组（外域取N1+1项近似，内域取N2+1项近似）：

4 截断项数的讨论

由（15）式可知，（N1-0.5） π≤μN1d≤N1π，假如外域上在 μN1a=Mπ 处截断，则所需的 N1为

由（18）式可知，若内域上在λN2a=Mπ处截断，则所需的N2为

由此可知，外域所需的截断项数N1为d/a的函数，d/a值越大，所需的截断项数N1越多。内域所需的截断项数N2为（d/a-T/a）的函数，（d/a-T/a）值大，所需的截断项数N2也越多。

5 算例及结果分析

图2 附加质量系数a11，a33随ka变化的曲线Fig.2 Coefficients of added mass a11and a33as functions of ka

图3 纵摇附加质量及阻尼系数Fig.3 Added mass and damping coefficients in pitch

采用文献[7]中Spar平台的数据：圆柱体半径a=20.26m，吃水T=198.14m，水深d=914.4m，重心离基线距离为 92.4m。取 M=1,2,4 和 8，对应的 N1=45，90，180 和 360，N2=36，72，144 和 288。 从图 2 和 3可知，截断项数对附加质量，特别是a33的影响较大，而对阻尼系数的影响较小。为了保证水动力系数的计算精度，要求取M≥4。

图4 不同d/T下的附加质量及阻尼系数Fig.4 Added mass and damping coefficients for different d/T

图5 a33，b33随 d/T变化的曲线Fig.5 Added mass and damping coefficients in heave as functions of d/T

6 结 论

采用特征函数展开及边界匹配法求解各子区域速度势中的展开系数，从而得到浮式直立圆柱体在静水面作摇荡运动产生的水动力系数。内、外域速度势表达式中的无穷级数项分别取N1+1和N2+1项近似。N1的选取与d/a有关，而N2与（d/a-T/a）有关，为了保证计算精度，应取N1≥4d/a，N2≥4（d/a-T/a）。 与深水情况相应的计算条件可取：d/a≥max{ 5T/a,T/a+π/ka}。

[1]Morison J R,O’Brien M P,Johnson J W,Schaaf S A.The force exerted by surface wave on piles[J].Petroleum Transactions,AIME,1950,189:149-154.

[2]MacCamy R C,Fuchs R A.Wave forces on pi1es:A diffraction theory[R].Tech Mem.,69,US Army Coastal Engineering Research Center,1954.

[3]Garrison C J.Hydrodynamics of large objects in the sea,Part II.Motion of free-floating bodies[J].Journal of Hydronautics,1975,9(2):58-63.

[4]Sabunca T,Calisal S.Hydrodynamic coefficients for vertical circular cylinders at finite depth[J].Ocean Engng.,1981,8:25-63.

[5]Yeung R W.Added mass and damping of a vertical cylinder in finite-depth waters[J].Applied Ocean Research,1981,3(3):119-133.

[6]Bhatta D D,Rahman M.On scattering and radiation problem for a cylinder in water of finite depth[J].International Journal of Engineering Science,2003,41:931-967.

[7]Agarwal A K,Jain A K.Dynamic behavior of offshore spar platforms under regular sea waves[J].Ocean Engineering,2003,30:487-516.