朱文刚，杨芝艳

（南京工程学院 基础部，南京 211167）

0 引言

平稳过程{yt，t=0，±1，…}的谱表示本质上是将{yt}分解为互不相关随机系数正弦分量之和。与平稳过程{yt}的谱分解相应的是其自协方差函数也可以分解为正弦分量之和。确定性函数的Fourier表示是与平稳过程谱分解类似而又为读者更为熟悉的内容。时间序列的“频域”分析就是以这两类谱表示为工具对平稳序列进行分析。基于自协方差函数时间序列的“时域”分析为研究时间序列提供了另一种方法，但频域分析方法往往对某些实际应用更具有启发性，所以我们有必要研究时间序列的频域。近年来，相关工作被国内外众多的学者广泛的研究[1～6]，本文将讨论的异方差混合转移分布模型谱分析由于其序列之间的显式表达式在一般情况下是非线性的，故其谱密度通过定义难以获得，所以笔者拟采取基于Herglotz定理的思想求谱密度。

1 模型引入

Berchtold(2003)引入的K个成分的异方差混合转移分布模型定义如下：

记作 F（yt|h-1）～HMTD（k；p1，…qk）。 这里 F（yt|ht-1）是给定历史ht-1的条件下jh，yt的条件分布函数，ht是至时刻 t时的所有信息。Φ（·）是标准正态分布的分布函数，αk表示第k个成份的权重，满足

2 主要公式的推导及定理的证明

引理1[11]设k阶线性差分方程

其中 α1， …，αk是实数，αk≠0，T 是端点为整数的子区间。 上述方程简记为：A（β）ht=0。 其中 A（β）=1+α1β＋…＋αkβk，β为推移算子。 （2）的通解为：

其中 CIn由初始条件 h0，h1，…，hk-1决定，ξl-t，l=1，2，…，j是 A（z）＝1＋α1z＋…＋αkzk的相异零点，rl是 ξl的重数。

其中：μkt=φk0+φk1yt-1+…φkpkyt-pk

证明：作变换 x=（yt-ukt）/σkt，我们有

证毕。

假定序列是平稳的，且不妨设 E（yt）=0，则 φk0=0。 又由于Andre Berchtold等人所做的是参数估计，而这里做的是谱分析，不存在过度拟合的问题，所以我们可以对阶进行统一处理。……