■张哲

让情趣和智慧在探究中同构共生
——《用二分法求方程的近似解》案例分析

■张哲

教育家施瓦布曾经指出：“如果要学生学习科学的方法，那么有什么学习比通过积极地投入到探究的过程中去更好呢?”这句话对科学教育中的探究性教学和学习产生了深远的影响。美国心理学家布鲁纳也认为：“探索是数学的生命线。”可见，数学教学应强化探究性。

《用二分法求方程的近似解》是高中数学必修1第三章第一节“函数与方程”的内容，它体现了函数与方程的联系，体现了数学的逼近思想。

在这节课的学习中，采用探究式教学方式，使学生了解用二分法求方程近似解的思想以及用二分法求方程近似解的一般步骤。让学生体会概念产生的源头，亲历概念形成的过程，自主抽象概括形成概念，自觉应用概念解决问题。

一、教学片断

【教学片断一】

师：请同学们求解这个方程的根：1nx+2x-6=0。

师：这个方程，既没有现成的求根公式，也没法转化成我们熟悉的方程，我们该怎么办呢？大家想一想，什么是方程的根呢？

生：方程的根就是能使等式两边成立的未知数的取值。

师：我们可以通过猜，即试根的方法来找到方程的解。我们不妨从生活中的游戏来找找灵感，请同学们观看视频《购物街》。

师：挑战者在短短20秒的时间内就猜出了物品的正确价格，他是如何做到的呢？

生：因为主持人说2000低了，2500高了，所以正确的价格应该在2000～2500之间。

师：挑战者之所以能猜出价格，主持人提供的信息起了十分关键的作用，这个反馈信息使得每一次猜的范围不断缩小，不断的接近真实的价格。同学们从这个游戏中能不能得到一些启示呢，我们在试根的过程中到底怎样猜才能更接近方程的解呢？

生：从已知的信息得到反馈。

教学过程简析：新课导入时以问题驱动教学，激发学生的求知欲，激活学生的思维。接着顺应学生的思维，思考根的定义，为了讲解在试根的过程中怎样猜才能更接近方程的解，播放了视频《购物街》，引出反馈机制，引导学生体验数学来源于生活。

【教学片断二】

师：怎么来找这种反馈的机制呢?能不能从已知的信息得到反馈。

求方程f(x)=0的实数根，就是要求y=f(x)的零点，因为ln1=0，我们将x=1带入f(x)=1nx+2x-6中，得到f(1)=-4，我们知道f(x)是一个单调递增的函数，f(1)＜0，那我们应该继续猜怎样的值啊？

生：比1大的数。

师：2×3-6=0，我们不妨再猜3，我们将x=3带入f(x)=1nx+2x-6，f(x) =1n3，我们已经知道了f(1)和f(3)的值，我们应该在哪一个范围内继续试根呢？

生：应该在（1，3）这个区间内猜。因为f(1)＜0，f(3)＞0，根据零点存在性定理，所以零点应在（1,3）区间内。

师：根据零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c∈（a,b）使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。

师：求方程近似解的过程中,重复计算次数与精确度有关吗？

生：有关系。

生：如此重复，零点的范围越来越小，那么，我们什么时候停止这种步骤的操作呢。

师：当给定精度时，即规定了我们得到的近视值和真实值的差距必须小于所给的精度。为了判断所取的近似解是否达到了精度，我们做了如下规定：精确度为ε，是指在计算过程中零点落在区间（a，b）上，若区间的长度：|a-b|＜ε，则认为已达到了所给的精度，可以停止计算。

教学过程简析：通过找特殊点x=1和x=3进行试根，为学生回顾上一节内容提供了契机，从而将复习函数零点知识的过程体现在问题解决的过程中，在问题的解决过程中把旧知识检索和提取出来，使旧知识真正做到“为我所用”。在教学设计中，注意创设恰当情境，从具体实例出发，使学生能够从中发现问题，提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。使学生在参与知识的形成过程中，正确理解精确度、近似值的概念,认真思考精确度、初始区间的作用，提升知识、能力的深度和广度。

【教学片断三】

师：确定了零点的范围后，我们是在这个范围内任意取了一点继续试根，那这一点应该怎么取呢，可以让我们更有效率、更好地去逼近精确解呢？

我们不妨利用数轴来研究一下，多媒体课件演示以下动画过程。

假设我们的正确解是在（0,100）范围内的一个数，大家会取哪些点呢？

生：10,50,80。

师：一般说来，选取中点来继续缩小范围的方法是在最坏情况下的一种最好的方法。在实际操作过程中，我们常常用这种方法来求方程的近似解，这种将零点所在范围一分为二，不断逼近的方法就叫做二分法。

教学过程简析：为了揭示知识形成过程，让学生探究数学问题的实质，教学中，不是简单地告诉学生用二分法。为了讲清楚为什么是二分，而不是其他的分法，可充分发挥多媒体教学的优势，动画演示取点10、50、80的情景，在教学关键处给予学生更清晰、直观的指导，在知识连接处给予学生承上启下的阶梯，在学生出现思维空白时给予学生直观形象的支撑。这对促进学生的主动参与、有效学习，起到了推波助澜的作用。

二、教学启示

1.关注学习过程和情感体验，引导学生自主学习

数学课程标准强调学生在学习过程中，通过经历、体验、探索而学到知识，形成技能，同时使各方面得到发展。这节课，教学设计环环相扣，通过猜测、找寻反馈机制、不断逼近、折半选取这样一系列的过程，注意数学思想方法的溶入渗透，训练学生用从特殊到一般,再由一般到特殊的思维方式解决问题的能力，不断加强他们的转化类比思想。这样的教学设计,教师给了学生主动学习的机会和权力，让他们自己去观察，自己去发现，在困惑、思考、探索、交流的过程中主动获取知识，体验成功的自豪与喜悦，从而增强了自主学习的意识和信心。

2.关注相关数学内容之间的联系，帮助学生探究数学

数学各部分内容之间的知识是相互联系的，学生的数学学习是循序渐进、逐步发展的。为了求方程ln x+2x-6=0的解，引导学生回顾旧知，复习了根的概念，运用了试根的方法，复习了函数与方程的等价关系，为了帮助学生理解如何缩小初始区间范围，温习了零点存在定理。这样的设计为学生探究搭建了一个平台，学生的主体性和教师的主导性都得到了充分体现。

3.突出教学重难点，提升学生学习能力学生

二分法的思想和用二分法求方程的近似解是本节课的重点也是难点，为了突破重点二分法的概念，从生活中的游戏寻找数学知识的运用，请同学们观看视频《购物街》，了解反馈机制，理解二分法的实质是零点存在定理，使学生在主动探索、合作交流的过程中获得了新知，提高能力。

为了突破难点——二分法的使用，本堂课运用多媒体，利用数轴进行比较，说明选取中点来继续缩小范围的方法是在最坏情况下的一种最好的方法。合理地运用了现代教育媒体的独特功能，对二分法原理的探究，用课件动画把二分法的思想直观、形象生动的展现给学生，让学生真正参与到知识的形成过程中去，努力提高教学效率。

华中师范大学数统学院）

责任编辑 王爱民