关于一类含有线性算子的亚纯多叶函数

2011-03-31徐能

常熟理工学院学报 2011年8期

关键词：乘积理工学院算子

徐能

（常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟 215500）

关于一类含有线性算子的亚纯多叶函数

徐能

（常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟 215500）

引进和研究了一类含有线性算子的新的多叶亚纯函数，得到了这一函数类中的一些有趣性质，如包含关系、卷积性质等.这些结果改进和拓展了早期的一些工作，同时也得到了其他一些新的结果.

亚纯函数；多叶函数；凸单叶函数；Hadamard乘积（或卷积）；从属；线性算子

1 预备与引理

设Σp表示由形如

组成的在去心单位圆盘U0={z:0＜|z|＜1}内解析的函数类.一个函数f(z)∈Σp被称为是在类Σ*p(α)中，如果对某些α(α＜1)满足条件

注意到对于0≤α＜1,Σ*p(α)是α阶p叶亚纯星型函数类.同时，我们写Σ*1(α)=Σ*(α).

对于由（1.1）给出的f(z)∈Σp和g(z)∈Σp，这里

则f(z)和g(z)的Hadamard乘积（或卷积）定义为

这里c∉{0,-1,-2,…}，(x)0=1,(x)n=x(x+1)…(x+n-1)(n∈ℕ).相应于函数φp(a,c;z)，广义超几何函数

现在我们定义函数φp(a,c;z)为

这里l≤m+1,l,m∈ℕ0:=ℕ⋃{0},βj∉{0,-1,-2,…}(j=1,2,…,m).现在我们定义

近来，Liu和Srivastava[1]通过下列Hadamard乘积

定义了一类新的线性算子

这里f(z)∈Σp,l≤m+1,l,m∈N0,βj∉{0,-1,-2,…}(j=1,2,…,m).如果f(z)∈Σp由（1.1）给出，则从（1.3）和（1.4）我们有

lFm(α1,…,αl;β1,…,βm;z)被定义为下列级数:

为了使记号简便，我们引进

特别地，对于p=1,l=2,m=1和α1=a,α2=1,β1=c∉{0,-1,-2,…},我们得到线性算子

这是由Liu和Srivastava[2]以及Yang[3]分别独立引进和研究的.

令P是由在U内凸单叶并且满足条件h(0)=1,Reh(z)＞0(z∈U)的解析函数所组成的函数类.

设f(z)和g(z)在U内解析.如果存在一个在U内的解析函数w(z)，使得

则称函数f(z)是在U内从属于g(z)，记为f(z)≺g(z).进一步，如果g(z)在U内单叶，则

在整篇文章中，我们设

显然，对于k=1,我们有

关于k-对称点的亚纯（或解析）函数类已经被许多学者所研究（见文献[4-9]）.

在本文中，使用线性算子Hl,mp(α1;β1)和两个解析函数间的从属，我们引进和研究了下列Σp中的子类:

定义函数f(z)∈Σp如果满足条件

导致函数类Σp,k(a,c;h)，这是最早由Srivastava，Yang和Xu（见文献[5]）引进和研究的.有关亚纯函数的研究

还可参见文献[1-3，10-19]等.

为了导出我们的结果，需要下列引理.

在本文中，我们的目标是给出函数类Σl,mp,k(α1;β1;h)中的包含关系，卷积性质及其他一些新的结果.我们的结果改进和扩展了一些早期的结论.

2 卷积性质

定理1设h(z)∈P,α＜1且满足

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A Class of Meromorphically Multivalent Functions Involving a Linear Operator

XU Neng
(School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)