高智中

（安徽科技学院理学院，安徽凤阳 233100）

一类新超混沌系统及其自同步

高智中

（安徽科技学院理学院，安徽凤阳 233100）

基于一个三维混沌系统构造了一个新的四维超混沌系统，利用系统的分岔图、Lyapunov指数谱图和相图分析方法研究了该系统的运动规律.根据线性系统稳定性定理，设计了一种非线性反馈控制器，实现了该超混沌系统的自同步，数值模拟结果验证了理论分析的正确性.

新超混沌系统；分岔图；Lyapunov指数谱；相图；稳定性定理；自同步

由于超混沌系统有两个或两个以上正的Lyapunov指数，系统的动力学行为比一般混沌系统具有更强的随机性和更高的不可预测性，在混沌保密通信及信息安全等领域中具有更高的实用价值.因此，构建高维超混沌系统并实现高维系统的同步是当前非线性科学领域研究的热点课题，近年来取得了丰硕的成果[1-5].

本文在文献[6]提出的新三维自治混沌系统的基础上构造了一个新的超混沌系统，利用系统的分岔图、Lyapunov指数谱图和相图分析方法研究了该系统的运动规律.然后利用非线性反馈控制法实现了该超混沌系统的自同步.由于其控制结构简单，易于操作，不仅可以应用于混沌控制，而且还可以应用于混沌同步.数值模拟结果验证了理论分析的正确性.

1 新超混沌系统的设计

文献[6]提出的新三维自治混沌系统，其状态方程可表示为：

当a=5,b=90时，系统处于混沌状态.

根据超混沌产生的必要条件[7]，在这个三维系统上增加一个非线性状态反馈控制器x4，并增加一个一阶微分方程，可得到如下的四维超混沌系统：

式中，m为新引入的参数.Lyapunov指数是在混沌系统中定量地描述状态空间吸引子的相邻轨线收缩和扩张的量，是吸引子类型的有效判据.当选取参数a=5,b=90,m=3.4时，利用Wolf方法[8]数值计算系统的四个Lyapunov为λ1=0.7204,λ2=0.0579,λ3=-0.017,λ4=-5.7608，其中有两个正的Lyapunov指数，并且所有Lyapunov指数之和小于零，说明系统在这组参数下处于超混沌状态，此时系统的Lyapunov维数为3.1347，由于该系统的Lyapunov维数是分数维数，从而从另一方面验证了系统在这组参数下处于超混沌状态.因此所设计的四维系统的确是一个超混沌系统.

2 超混沌系统的简单动力学分析

非线性混沌动力系统的主要动力学特性可通过分岔分析和计算Lyapunov指数谱来分析.

当固定参数a=5，b=90，系统变量x随m在[0,10]变化时的分岔图和Lyapunov指数谱图（为了将系统的第二根Lyapunov指数大于零的部分更加明显，这里略去了第四根Lyapunov指数曲线）如图1（a）和（b）所示.从图1可以观察到，系统一开始处于混沌态，随着m的增大，系统进入超混沌态，然后进入较窄的周期态，接着又进入拟周期态，最后进入稳定的周期一状态.图2（a-f）给出了x1-x3平面的六种典型的吸引子.

3 超混沌系统的自同步

将所构造的四维超混沌系统（1）作为驱动系统，再取如下的系统（2）为响应系统.

图1 系统的分岔图（a）和Lyapunov指数谱图（b）

图2 超混沌系统的典型平面吸引子

为了获得能够实现驱动系统与响应系统同步的非线性反馈控制器，令两系统的误差变量，则可得到误差系统为

设计了如下一个简单的非线性控制器

线性系统稳定性定理[9]：对于线性系统，其唯一平衡点渐近稳定的充要条件是A的所有特征值均具有负实部.

显然误差系统的4个特征值为-5,-1,-1,-1，根据线性系统稳定性定理知误差系统可在式（4）的控制下，其零解是渐近稳定的，从而可使驱动系统（1）和响应系统（2）同步.下面利用四阶龙格-库塔法对误差系统进行数值模拟，选取相同的参数a=5，选取驱动系统初值为(1,1,1,1)，响应系统初值为(10,10,10,10)，时间t的步长为0.001.在非线性控制器（4）式作用下系统（1）和（2）的同步误差曲线模拟结果如图3所示，由图3可以看出，数秒后误差变量e1,e2,e3,e4全部趋向于零，这表明驱动系统与响应系统已达到了同步.数值模拟结果证明了所设计的非线性控制器的正确性和有效性.

图3 误差系统的时序图

4 结论

本文构造了一个新的四维超混沌系统，利用系统的分岔图、Lyapunov指数谱图和相图分析方法研究了新引入参数m取不同值时超混沌系统的运动情况.根据线性系统稳定性定理，设计了一种简单的非线性反馈控制器实现了该超混沌系统的自同步，且其同步是全局渐近稳定的.所得结果为该超混沌系统在混沌保密通信中的应用提供了理论参考.

[1]高智中.超混沌Liu系统的自同步研究[J].湖南文理学院学报，2011，23（2）：28-30．

[2]刘扬正，林长圣，姜长生.新的四维超混沌Liu系统及其混沌同步[J].电子科技大学学报，2008，37（2）：235-237，296．

[3]李瑞红，陈为胜，李爽.超混沌Lorenz系统的投影同步及其在保密通信中的应用[J].电路与系统学报，2011，16（2）：41-45．

[4]方洁，姜长生.错位修正混沌函数投影同步及在保密通信中的应用[J].四川大学学报，2011，43（2）：136-141．

[5]孙宁，张化光，王智良.基于分数阶滑模面控制的分数阶超混沌系统的投影同步[J].物理学报，2011，60（5）：1-7．

[6]Buncha M，Banlue S.A new five-term simple chaotic attrators[J].Physics Letters A，2009，373（1）：4038-4043．

[7]Rossler O E.An equation for hyperchaos[J].Physics Letters A，1979，71（2-3）:155-157．

[8]Wolf A，Swift J B，Swinney H L，et al.Determining Lyapunov exponents from a time series[J].Physica D：Nonlinear Phenomena，1985，16（3）：285-317．

[9]郑大中.线性系统理论[M].北京：清华大学出版社，1992．

A Novel Hyperchaotic System and Its Anti-synchronization

GAO Zhi-zhong
（College of Science,Anhui Science and Technology University，Fengyang 233100,China）

A new four-dimensional hyperchaotic system based on a three-dimensional chaotic system is built in the paper.The hyperchaotic system is analyzed by bifurcation diagram Lyapunov exponents spectrum diagram and phase diagram.According to the linear system stability theorem,we design a nonlinear feedback controller to achieve anti-synchronization of the hyperchaotic systems.Numerical simulation results verify that the theoreti⁃cal analysis is correct.

new hyperchaotic system;bifurcation diagram;Lyapunov exponents spectrum

O545

A

1008-2794（2011）08-0031-04

2011-06-23

安徽科技学院校自然科学项目（ZRC2010260）.

高智中（1979—），男，山西神池人，安徽科技学院理学院助教，硕士，研究方向：混沌反控制.