张立，金健，唐志强

（常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟 215500）

上海GDP增长的数学模型及其分析与预测

张立，金健，唐志强

（常熟理工学院数学与统计学院，江苏常熟 215500）

根据上海1996年到2010年的生产总值（GDP）等相关统计数据，分别建立了上海GDP增长灰色预测模型和Logistic模型.通过matlab编程计算，得到了上海GDP增长的定量分析并进行了相关讨论.

GDP；影响力指标；灰色预测模型；Logistic模型

上海市委、市政府在对新一轮发展形势作出深入分析判断后，按照科学发展观的要求，提出了科教兴市主战略，重点依托人才和科技资源，提升上海产业能级和城市创新能力，转变城市经济增长方式，促进经济社会协调发展和人的全面发展.第41届世界博览会，即上海世界博览会（Expo 2010）在2001年7月申办成功，进一步促进了上海经济的快速发展.

根据上海市统计局的《上海统计年鉴2010》和其他一些资料，其中的1996年到2010年生产总值状况数据如表1所示.

根据表1，从GDP的角度来分析数据，建立模型定量讨论上海GDP的变化规律.

1 思考和分析

从统计年鉴中的数据，得到了上海近年来的生产总值和第一，二，三产业的生产总值，见图1.

表1 1996年到2010年上海市GDP相关数据（单位：亿元）

续表1

从图1可以粗略地观察分析出上海市申博成功后的GDP、第一产业及第二产业的增长率上升.本文选择了上海市生产总值为研究对象来具体定性和定量探讨世博会对上海市的影响.结合具体数据，建立两个模型：灰色预测模型和Logistic模型来进行定量分析.

图1 上海市GDP的增长率

2 灰色预测模型和Logistic模型

灰色理论[1]将无规律的原始数据经生成后，使其变为较有规律的生成数列再建模型，所以灰色模型实际上是生成数列模型.由于收集得到的原始数据利用MATLAB描点作图发现这些数据无规律可循，因此本文首先采用灰色预测模型.

2.1 一阶微分方程

2.2 建立灰色模型步骤

灰色模型（Grey Model）[2]，记为GM.灰色建模是对累加处理后的数据建立微分方程，如果有N个变量，则记为GM（1，N）.特殊地，只有一个变量的数列，则为GM（1，1），用GM（1，1）为例说明建模步骤：

（1）登录原始数列x(0)，并用x(0)累加生成数列x(1)：

（2）用累加生成数列构成矩阵B，用原始数列构成数据列矩阵yn.

（3）求微分方程的参数a,u.

生成数列的解为：

按最小二乘法，参数a,u为：

（4）建模

将a,u之值代入下式:

于是可以为生成的灰色预测模型[3]计算各个时期的数值.

（5）数据还原

按下述公式还原：

（6）残差检验

按计算原始序列x(0)() i与x'(0)()

i的绝对误差序列[4]及相对误差序列：

根据计算数据和观察数据，可以对模型进行精度检验,该指标能反映模型的信息.

2.3 Logistic模型

由于上海市的GDP不可能无限增长下去，会受到诸多因素的影响，因此，我们建立Logistic预测模型，引入滞后变量来进行预测.Logistic预测模型[5]的基本步骤如下：

（1）求出模型在不受任何影响情况下所能达到的GDP最大值，设为k；

（2）分析GDP增长到一定数量后增长率下降的主要原因，从而发现这些因素对GDP的增长起着阻滞作用，再通过对数据的分析，算出在阻滞作用下GDP的增长率为r(x)；

经过计算，得到Logistic模型的解的形式如下：

3 具体计算

3.1 灰色预测模型的计算

对上海市的GDP数据,用MATLAB编程，计算累加生成模型：

利用MATLAB软件[6]，预测出2003年到2012年上海的GDP和相对误差见表2.

根据残差检验得：相对误差小于1%，可见，该模型精度检验等级为优.

3.2 Logistic模型的计算

由MATLAB软件，根据Logistic模型预测出在没有世博会影响下2003年到2009年上海的GDP和相对误差见表3.

表2 灰色模型计算的2003年到2012年GDP和相对误差（单位：亿元）

表3 Logistic模型计算的2003年到2009年GDP和相对误差（单位：亿元）

利用各模型预测数据的准确度指标来衡量各模型的合理性，准确度指标的含义是：

准确度指标=预测出的GDP/实际的GDP.

若准确度越高，说明该模型的可取性就越强；反之则弱.由表2和表3可知灰色预测模型的准确度较好一些，故对上海市GDP的数量变化，灰色预测模型是理想的.

[1]姜启源，谢金星.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003．

[2]邓聚龙.灰色系统基本方法[M].武汉：华中理工大学出版社，2003．

[3]张岩，付业勤.海南省GDP的灰色预测[J].赤峰学院学报，2010，26（6）：137-138；

[4]刘思峰.灰色系统理论及其应用[D].北京：科学出版社，2005．

[5]姜启源，邢文训.大学数学实验[M].北京：清华大学出版社，2005．

[6]张志涌，杨祖樱.Matlab教程[M].北京：北京航空航天大学出版社，2006．

Mathematical Models of the Influence of World Expo for GDP of Shanghai and Its Computation

ZHANG li,JIN Jian,TANG Zhi-qiang
(School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

Based on the data from Shanghai Statistical Yearbook and some other data about the GDP of Shang⁃hai,this paper brings up two mathematical models to forecast and analyze quantity change of the GDP in Shang⁃hai which are the Grey Forecasting Model and Logistic Model.With the software of Matlab,the paper gives out the concrete computation results by these methods for the GDP in Shanghai.

GDP；indexes of influences；Grey Forecasting Model；Logistic Model

O212.1

A

1008-2794（2011）08-0035-04

2011-05-20

张立（1974—），男，江苏武进人，常熟理工学院数学与统计学院讲师，研究方向：优化、信息安全.