张 琦，王 成

(重庆交通大学土木建筑学院，重庆 400074)

双曲线上曲率最大点预测桩基竖向极限承载力的预测

张 琦，王 成

(重庆交通大学土木建筑学院，重庆 400074)

从解析几何的角度分析了传统双曲线方法，该方法是用平行于沉降轴的渐近线来判定极限承载力;提出了采用双曲线上曲率最大点来判定极限承载力。在实际工程应用中，与传统方法进行了对比分析。结果表明:采用曲率最大点判定极限承载力得到的Qu是传统的以渐近线判定得到的Qult作折减所得，曲线越平坦折减越多;在极限承载力随拟合采用荷载级数的规律方面，最大曲率点法与传统方法一致，得到的极限承载力均随着采用级数的增多逐步增大并逐渐趋于稳定。

极限承载力;双曲线法;桩;竖向静载荷试验;荷载-沉降曲线

确定单桩极限承载力有静载荷试验、动力测试、静力触探法和经验公式等多种方法，而静载荷试验是目前最直观、最可靠的方法，也是我国规范［1］规定的方法。然而在工程实践中，由于荷载装置、试桩费用、工程施工进度以及试验终止条件等限制，未能将试桩压至破坏，所得的荷载-沉降(Q-S)曲线是不完整的，不能直接得到单桩极限承载力。如何利用已获得的实测数据，合理地预测单桩极限承载力，具有重大意义。对此，国内外学者进行了大量研究，提出了多种数学模型预测方法。常用的有指数方程法、对数曲线法、抛物线法、灰色预测法等。目前大多认为它们之间的变化符合双曲线［1-11］。双曲线法能够比较好地预测Q-S曲线为缓变型的桩基的极限承载力。笔者在前人研究的基础上，首先从解析几何的角度分析了传统双曲线的特性，发现传统方法中采用的是等轴双曲线，对极限承载力的判定则是采用平行于S轴的渐近线;其次探讨了采用双曲线上曲率最大点来判定桩的极限承载力极其对应的沉降的方法，研究曲线特性发现可采用双曲线两渐近线的角平分线与双曲线交点来求得最大曲率点;最后结合静载试桩实测数据，通过逐级预测的方法，分析了预测单桩极限承载力随级数增多的变化规律。

1 传统双曲线方法的分析

早在1970年马来西亚的F.K.Chin在对一些试桩资料研究后提出桩顶荷载位移(Q-S)曲线可用双曲线拟合［4］。该方法将Q-S关系转换成S/QS关系曲线，方程形式如式(1):

式中:C1为直线斜率;C2为S/Q轴上截距;Qu为试桩极限承载力，Qu=1/C1。

双曲线法一般都能确定Qu值，但对Q-S曲线上存在拐点的试桩误差较大［3］。传统的双曲线方法是用两条渐近线相互垂直的双曲线，如图1。

图1 传统双曲线方法Fig.1 Traditional hyperbolic method

此曲线为等轴双曲线，两渐近线正交，图中a=b，tan(α)=b/a=1(即 α =45°)。以下就此做出证明。

1.1 图中两坐标系之间的转换关系

设o点在坐标系(SOQ)下的坐标为(c，Qult);由图1可知，坐标系(xoy)经过旋转α角、按向量(-c，-Qult)平移即可变为坐标系(SOQ)。坐标系(xoy)与坐标系(SOQ)之间转换关系如下:

1.2 由双曲线标准型化成传统方法中的表达式

对于坐标系(xoy)中的双曲线方程:

将式(6)代回式(5)可得:

这3个方程是相同的，只是化简时的思路不同。它们用于荷载-沉降拟合的传统双曲线。

由于坐标系的平移及旋转不会改变曲线的形状。可见传统的双曲线方法采用的是等轴双曲线，两渐近线正交，用于预测极限承载力的是Q=Qult的那条渐近线。

2 最大曲率点的求解

对于由参数方程表示的曲线:(x=x(t)，y=y(t))曲率κ的定义为:

求上式极大点得t=1，与此对应的x=a，y=0。即两渐近线角平分线ox与双曲线的交点是曲率最大点。由ox的方程与式(9)联立可解得最大曲率点如下:

由前面的分析可知，采用双曲线函数模型可得到可得到试桩极限承载力Qu=Qult此为双曲线的渐近线。而达到此极限值时，沉降S理论上为无限大，与实际破坏荷载和其对应沉降值不一致，因而无法用极限值来预测单桩的极限承载力及其相应桩顶沉降。赵春风，等［12］探讨了用指数函数最大曲率点判定桩的极限承载力及其相应沉降。

斜率变化对判定桩的极限承载力至关重要，曲率越大的地方斜率变化也越剧烈。作为特征点，最大曲率点在双曲线上具有唯一性，文中利用双曲线两渐近线的角平分线与曲线的交点，作为极限点来判定桩的极限承载力。采用此法判定桩极限承载力及对应的沉降的方法是较为简便的，而且便于图解。

3 工程应用

文献［12］中所列出的S2试桩数据共分16级荷载，荷载分级多较，适合验证最大曲率点预测单桩极限承载力的可行性。由式(9)可知利用S与S/Q之间的线性关系，对原试桩数据转换后线性回归即可得到拟合参数，然后用曲率最大点推求它们的极限承载力及对应的沉降。表1中列出了从5级荷载到16级荷载的拟合结果。

当采用16级数据拟合的结果如图2。

表1 前n级拟合结果Tab.1 Fitting results of n steps

图2 S2拟合结果Fig.2 Fitting results of S2 pile

极限承载力的预测的准确与否跟实验数据的多少有关。特别是破坏的弹塑性段，只有分级足够多才能描述出此阶段斜率变化，进而精确预测塑性破坏阶段的曲线形状，拟合结果才能更好地逼近真实值。从前5级荷载开始预测，接着用前6级荷载进行预测，直至用前16级荷载预测;逐步预测的单桩的极限承载力如图3所示，横坐标表示的为预测所用的前n级荷载。

从图3可以看出不论是利用渐近线预测的结果Qult还是采用最大曲率点预测的结果Qu，均随着采用级数的增多逐步增大并逐渐趋于稳定。2种预测方法的规律具有相似性。最大曲率点得到的Qu是Qult折减所得，随着b值的增大折减的也越多。一般说来图1中的曲线越平坦，b值也越大，对于较平坦的Q-S曲线，试桩数据进入塑性的实验点较少，为安全起见需要对Qult做较大的折减。假如静载试验没能加载至弹塑性变形段，图3中的曲线就不会逐渐趋于水平，预测桩的极限承载力是难以达到目标的。

4 结论

桩土系统本身的复杂性导致试桩的Q-S实测曲线千差万别，是当前国际研究的难题之一。笔者在分析实验资料和总结前人采用双曲线拟合Q-S实测数据的基础上。探讨了采用曲线上曲率最大点判定极限承载力的可行性，并与传统的以渐近线判定极限承载力方法作对比，得到如下结论:

1)文中采用双曲线上曲率最大点判定极限承载力得到的Qu是传统的以渐近线判定得到的Qult作折减所得，曲线越平坦折减越多。

2)在极限承载力随拟合采用荷载级数的规律方面，最大曲率点法判定出的极限承载力Qu与传统方法得到的Qult一致，均随着采用级数的增多逐步增大并逐渐趋于稳定。

3)以双曲线两渐近线的角平分线与双曲线的交点来得出最大曲率点，并据此判定试桩的极限承载力。此法比直接利用渐近线判定的极限荷载值小有利于工程安全，几何概念清楚易于图解及公式计算。实例表明:此法对于极限承载力的判定较为准确但对于沉降的判定尚需进一步研究。

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Prediction of Ultimate Bearing Capacity of Single Pile by the Maximum Curvature Point of Hyperbolic

ZHANG Qi，WANG Cheng
(School of Civil Engineering＆ Architecture，Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，China)

From the analytic geometry’s point of view，the asymptotic which parallel to the settlement axis had been employed to determine the bearing capacity in the traditional hyperbolic method.In this paper the maximum curvature point of hyperbolic was used to ultimate bearing capacity of single pile.In practical application，the traditional methods were analysed comparing with the method proposed.The results showed that the ultimate bearing capacity Qucalculated by the method in this paper was equivalent to Qultreduction which was calculated by the traditional method.The flatter the curve was，the more the reduction.In the relationship of the ultimate bearing capacity and the load series，maximum curvature method agreed with traditional method;the ultimate bearing capacity would be stable and large with the increasing numble of the load series.

ultimate bearing capacity;hyperbola method;pile;vertical static load test;loading-settlement curve

TU473

A

1674-0696(2011)03-0394-04

2010-12-06;

2011-03-19

张 琦(1984-)，男，江西樟树人，硕士研究生，主要从事隧道及基础工作方面的研究。E-mail:76540696@qq.com。