●顾 慧 (青山高级中学 江苏无锡 214063) ●侯 斌 (太湖高级中学 江苏无锡 214125)

曲线束在高考解题中的运用

●顾 慧 (青山高级中学 江苏无锡 214063) ●侯 斌 (太湖高级中学 江苏无锡 214125)

1 预备知识

曲线束包括:直线束、圆束和二次曲线束．

1．1 直线束

若直线l1:a1x+b1y+c1=0与直线l2:a2x+b2y+c2=0相交于点P，则

λ(a1x+b1y+c1)+μ(a2x+b2y+c2)=0

(其中λ，μ∈R，且不全为0)表示过点P的所有直线，被称为过点P的直线束．

1．2 圆束

圆C1:x2+y2－2c1x－2d1y+f1=0与圆C2:x2+y2－2c2x－2d2y+f2=0，则

表示一族圆，被称为圆C1与圆C2的共轴圆(当λ与μ互为相反数时，被称为根轴)．

1．3 二次曲线束

2个二次曲线通常有4个交点(这些交点可能有重合的，也可能有虚的)．如果这2个二次曲线的方程分别为S1=0与S2=0(S1，S2是关于x，y的二次式)，那么通过它们交点的二次曲线束可以写成 λS1+μS2=0(其中 λ，μ∈R，且不全为0)．

2 问题提出

(3)设t=9，求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．

本题是2010年江苏省数学高考试题第18题，这里仅考虑第(3)小题．给出的参考答案如下:

所以直线MN过点D．故直线MN必过x轴上的点(1，0)．

分类讨论和一大堆繁琐的演算背后是否忽略了某种解析几何的技巧呢?

3 用曲线束探求高考题

(1)求椭圆的方程;

(2)求证:直线PQ过定点，并求出定点的坐标．

本题是南京师范大学附属中学的一道高考模拟题，第(2)小题和2010年江苏省数学高考试题第18题第(3)小题非常相似，区别仅在于高考题将切线改为割线．

从而直线PQ过定点(1，0)．

此题解法运用了直线束的知识，绕开切点坐标的求解．2010年江苏高考题中割线和椭圆的交点是否也能绕开不求?在回答这个问题之前，先看2008年江苏省数学高考试题第9题:

图2

图3

这2道题目……