●康小峰 (栟茶高级中学 江苏如东 226406)

从一道高考题谈无字证明

●康小峰 (栟茶高级中学 江苏如东 226406)

题目设a＞0，b＞0，则为 a，b的调和平均数，如图1，C为线段AB上的点，AC=a，CB=b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于点D，连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E，则图中线段OD的长度为a，b的算术平均数，线段＿＿ 的长度是a，b的几何平均数，线段＿＿ 的长度是a，b的调和平均数．

(2010年湖北省数学高考理科试题)

图1

这道题源于苏教版普通高中教科书《数学》必修5第3．4节．在讲解定理:“2个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”后，教材中给出了这一定理的一种几何解释．其实该题更为深刻的背景是近年来一些数学家特别关注的将数学命题用简单、有创意且易于理解的几何图形来呈现的无字证明(如图1)．无字证明问题源于20世纪90年代末美国《数学杂志》开辟的专栏:没有文字的证明(Proof without words)．无字证明古已有之，例如赵爽的“弦图”、毕达哥拉斯学派的“形数”等，均属典范．我们在学习中经常用到的“数形结合”方法和无字证明的关系也是比较密切的．从这道高考题的背景，我们能感受到无字证明为数学问题的解决提供了独特的视角:简洁、直观．

以往的高考试题中虽然有以数形结合思想来考查不等式几何意义的题目，但没有直接考查均值不等式几何意义的试题．在高三复习中，教师也可能很少注意到这一问题，因此大部分考生拿到此题无从下手，正确率就可想而知了．其实，苏教版数学教科书必修5第……