●陈明儒 (东海实验学校 浙江宁波 315800)

简述一道中考题的拓展与探究

●陈明儒 (东海实验学校 浙江宁波 315800)

图1

题目如图1，边长为1的正方形ABCD被2条与边平行的线段分割成4个小矩形，EF与GH交于点P．

(1)若 AG=AE，证明:AF=AH;

(2)若∠FAH=45°，证明:AG+AE=FH;

(3)若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积．

(2009年广东省广州市数学中考试题)

1 试题评析

本题主要考查正方形、矩形、全等三角形等基础知识;考查计算能力、推理能力和空间观念;考查学生运用所学知识寻找问题关键点的能力．特别是在第(2)小题中，知道了∠FAH=45°后，利用∠HAD+∠BAF=45°打开解题思路是这个问题解决的关键所在，也是思维水平提升到更高层次的基本要素．试题不仅关注学生观察事物的能力和对数学知识层次理解的能力，也是对教学过程中学生推理演算能力的体现，具有较好的创新性．

2 试题拓展与探究

2．1 弱化条件，结论不变

对试题第(2)小题纵向拓展．

探究1若将条件放宽，如图2所示，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠FAH=∠BAD，则结论BF+HD=FH是否仍然成立?

图2

图3

图4

图5

在图5中，延长CB至点G，使得BG=DH，连结AG．由∠ABG和∠D都是∠ABC的补角，得

类似地，可以证明FH=BF+HD成立．

若将图1、图2、图3中的△FAH绕顶点A旋转至四边形外，则还可以继续探究FH，BF，HD之间的数量关系．

2．2 题设不变，探究结论

探究2对试题第(2)小题，当∠FAH=45°时，除本题的结论外，还可得到其他许多结论，可参见文献［1］．除此之外，通过探究还发现:

2．3 逆向思维，横向拓展

图6

图7

方法2(运用旋转变换)如图7，将Rt△ADH绕点A沿顺时针方向旋转90°至Rt△AMN，延长线段NM与直线 EF交于点Q，连结 NF．设正方形AGPE 的边长为 a，PH=x，PF=y，则

于是 S矩形PFCH=2S正方形AGPE．

方法3(运用基本图形……