王树国，陈 英，刘大亮，杨 昊，翟海峰

（1.兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州，730070；2.兰州交通大学博文学院土木工程系，甘肃兰州，730070；3.兰州交通大学机电工程学院，甘肃兰州，730070）

机械系统中广泛存在干摩擦结构，摩擦带来磨损，使机械零件或部件之间出现间隙，产生运动副的分离与碰撞以及严重的系统振动与噪声，从而降低机械系统的精度和运转效率，甚至会导致整台机器的破坏。因此，干摩擦下碰撞振动系统的动力学行为分析引起了众多学者的关注。Shaw［1］研究了一单自由度简谐激励分段线性系统周期运动的稳定性，并分析了干摩擦系统的动力学响应以及由于摩擦导致的分岔行为（岔式分岔、Hopf分岔）。Cone等［2］采用数值方法分析了干摩擦单自由度双面冲击振子，结果表明系统存在周期倍化系列和黏滑碰撞运动。本文给出干摩擦下含间隙的双自由度碰撞振动系统的滑动、黏滑和碰撞运动方程以及衔接条件，应用数值方法，结合理论分析，对该系统在带速变化条件下的分岔现象进行研究，并讨论激励振幅和干摩擦对该系统黏滑及擦切运动的影响。

1 干摩擦碰撞振动系统模型

图1所示为干摩擦下双自由度碰撞振动系统的动力学模型。质量为M1的振子M1由刚度为K1的弹簧和阻尼系数为C1的黏性阻尼器相连接，振子M1与皮带之间存在干摩擦力F1，作用在振子M1上的简谐激励为P1sin（ΩT＋τ）；质量为M2的振子M2由刚度为K2的弹簧和阻尼系数为C2的黏性阻尼器相连接，振子M2与皮带之间存在干摩擦力F2，作用在振子M2上的简谐激励为当M1与M2的位移差绝对二者发生碰撞。皮带的速度为V。

图1 双自由度摩擦碰撞振动系统模型Fig.1 Double－degree－of－freedom friction collision vibration system model

可将式（1）化为

2 系统的周期运动及稳定性

由于流的解析解很难给出，对于P这样的映射一般借助数值方法来进行研究。通过映射P可以得到P的Jacobi矩阵DP，根据矩阵DP的特征值λi可以判断图1所示碰撞振动系统周期运动的稳定性和局部分岔［3－8］。

3 数值分析

在适当的参数下，振子的运动呈现周期性，并且图1所示系统具有对称性，在一定参数下系统会出现对称的碰撞运动。假设在n个激励周期内，经历了p次右碰撞，q次左碰撞，k次黏滑后，系统运动重复，则称为n－p－q－k运动。取系统的基本参数为：μm＝0.5，μk＝0.5，μc＝0.5，ζ＝0.1，v＝0.1，R＝0.8，f0＝1.0，以ω为控制参数分析摩擦力对系统分岔形式、黏滑和非黏滑碰撞的影响。

图2为ω∈［2.5，13］时M1的分岔图。首先分析u1＝0.1的情况（见图2（a）），ω∈［11.955，13］时M1呈现出稳定的周期1－1－1－0对称运动，ω∈（10.289，11.955）时M1呈现出稳定的周期1－1－1－0非对称运动，ω＝10.289时M1呈现出稳定的周期2－2－2－0运动，同时随着ω递减为9.895，M1的运动将通过倍周期分化通向混沌，ω∈（8.736，9 .825）时M1呈现出稳定的周期1－2－1－0运动，ω＝8.736时M1呈现出稳定的周期2－4－2－0运动，同时随着ω递减为8.445，M1的运动也将通过倍周期分化通向混沌。

图3为u1＝0.1时M1的黏滑及擦切图。此时，M1在ω∈（6.162，8.736］区间内的黏滑运动不明显，在ω∈［2.5，6.162］区间内的黏滑运动则比较明显。ω∈［5.395，6.162］时M1呈现稳定的周期2－2－2－1运动（见图3（a）），ω∈（4.532，4.732］时M1呈现稳定的周期1－3－2－1运动（见图3（b）），ω＝4.532时M1呈现稳定的周期2－6－4－2运动，同时随着ω递减为4.450，M1的运动将通过倍周期分化通向混沌。ω∈［2.5，4.450）时M1呈现的黏滑现象更明显，此时M1主要以倍周期分化通向混沌。

图2 M 1的分岔图Fig.2 Bifurcation diagram of M1

图3 u1＝0.1时M 1的黏滑及擦切图Fig.3 Stick－slip and brush cut diagram of M 1 when u1＝0.1

下面讨论增大摩擦力（u1＝0.2）时的情况，此时M1的分岔图见图2（b），M1的黏滑及擦切图见图4。ω∈［7.5，13］时M1的黏滑运动不明显，此时M1主要以倍周期分化通向混沌。ω∈［2.5，4.505］时M1不仅有明显的黏滑运动，而且有擦切运动。ω∈（4.279，4.505］时M1呈现稳定的周期1－3－2－1运动（见图4（a）），ω＝4.279时M1发生擦切运动（见图4（b））。ω∈（4.145，4.279］时M1呈现稳定的周期1－4－2－1运动，当ω＝4.145或ω＝3.965时M1再次发生擦切运动（见图4（c）），并最终通过擦切运动通向混沌。

图4 u1＝0.2时M1的黏滑及擦切图Fig.4 Stick－slip and brush cut diagram of M 1 when u1＝0.2

减小摩擦力（u1＝0.01）时，M1的分岔图见图2（c），此时M1在ω∈2.5，］［13区间内的黏滑运动不明显。

系统其他基本参数不变，当u1＝0.1时，M1在不同激励振幅条件下的分岔行为如图5所示。由图5可见，在ω＝4.2的条件下，当f0＝0.1时，M1呈现稳定的周期1－2－3－0运动，当f0＝0.4时，M1呈现稳定的周期1－1－1－0运动，当f0＝0.95时，M1呈现稳定的周期1－3－2－1运动；在ω＝5.1的条件下，当f0＝0.1时，M1呈现稳定的周期2－4－4－0运动，当f0＝0.4时，M1呈现稳定的周期1－1－1－0运动，当f0＝0.95时，M1呈现稳定的周期2－4－4－2运动。

图5 不同激励振幅下M 1的分岔图Fig.5 Bifurcation diagram of M1 under different incentive amplitudes

4 结论

（1）系统存在叉式分岔，并由对称周期运动变为反对称的周期运动，进而通过周期倍化分岔通向混沌。

（2）在一定的带速下，系统主要以倍周期分岔为主，干摩擦较小时系统黏滑现象不明显，而干摩擦较大、激励频率不太大时系统黏滑现象非常明显，并且存在擦切运动。

（3）在一定带速和干摩擦下，激励振幅越大，系统越容易发生黏滑运动。对于此类系统，可以通过调整干摩擦和激励振幅来抑制系统的黏滑现象。

［1］ Shaw S W.On the dynamic response of a system with dry friction［J］.Journal of Sound and Vibration，1986，108：305－325.

［2］ Cone K M，Zadoks R I.A numerical study of an impact oscillator with addition of dry friction［J］.Journal of Sound and Vibration，1995，188（5）：659－683.

［3］ Ding W C，Xie J H.Interaction of Hopf and doubling bifurcations of a vibro－impact system［J］.Journal of Sound and Vibration，2004，275（1－2）：29－45.

［4］ 丁旺才，张有强，谢建华.含对称间隙的摩擦振子非线性动力学分析［J］.摩擦学学报，2008，28（2）：156－160.

［5］ 罗冠炜，张艳龙，谢建华.含对称刚性约束振动系统的周期运动和分岔［J］.爆炸与冲击，2007，4（7）：45－50.

［6］ 李万祥，牛卫中.一类含间隙系统的分岔与混沌的形成过程［J］.振动与冲击，2000，24（3）：48－49.

［7］ 罗冠炜，谢建华，孙训方.两自由度塑性碰撞振动系统的周期运动与稳定性［J］.兰州大学学报，2000，36（3）：62－66.

［8］ 林梅，丁旺才，武俊虎.两点碰撞振动系统的周期运动与分岔［J］.动力学与控制学报，2000，4（1）：17－21.