张多生

(甘肃省武威第六中学 733000)

如图1所示，劲度系数为k的一根轻质弹簧，左端固定在竖直墙壁上，右端连接一质量为m的小物块，开始时弹簧处于原长，小物块静止于O点.将小物块向右拉至A点，释放后小物块在粗糙水平面上左右振动起来.此装置称之为弹簧振子，小物块称为振子.由于摩擦，小物块最终会停下来.已知小物块与水平地面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力可看成滑动摩擦力的大小，为μmg.对于振子最终停留的位置，好多同学错误地认为一定停在O点.从动力学角度研究滑动摩擦力作用下弹簧振子的运动规律，高中学生限于数学知识，难于理解.本文从能量的角度探索滑动摩擦力作用下弹簧振子的运动规律，确定振子最终停留的位置及振动通过的路程.

一、平衡位置

二、振子单向运动过程中相对于O点的最大位移的变化

弹力是变力，弹力做的功可以通过F-x图象的“面积”求解.振子从O点运动到A点的过程中，弹簧的形变量等于小物块的位移x，则弹力F随位移x的关系为F=kx,F-x图象如图3所示.此过程中克服弹簧弹力F所做的功W为图象与x轴围成的面积，即

以弹簧自然伸长时振子的位置O为原点，建立直线坐标系，如图4所示.把振子从右端最大位移x0处无初速释放，振子开始左右振动.设x1、x2、x3、x4…依次为振动过程中振子离O点的最大位移.

振子沿ox轴负方向从x0处运动到x1(x1<0)处的过程中，由动能定理得出：

整理可得：

振子在x1处掉头而回，沿x轴正方向运动，到达x2处的过程中，由动能定理继续得出：

整理可得：

至此不难看出，只要我们交替运用(1)式和(2)式，就可以知道振子偏离O点的最大位移变化规律：

当振子向左运动时有：

x0+x1=x2+x3=x4+x5=…=2δ

当振子向右运动时有：

x1+x2=x3+x4=x5+x6=…=-2δ

即小物块每经过一个单向运动后，对O点的最大位移大小按等差数列的规律递减，递减公差为2δ，即：

x0-|x1|=|x1|-x2=x2-|x3|=…=2δ(3)

以上结论对最后一次单向运动可能不适用.最后一次单向运动有两种可能性，如图5和图6所示.若最后一次单向运动途经0点，(3)式仍然成立；若最后一次单向运动只在O点一侧运动，不经过O点，则最大位移大小之后为2δ.

三、振子最终停留位置

由(1)式和(2)式交替应用，可确定出振子运动过程中离O点的最大位移值，依次为

x0，x1=-(x0-2δ)，x2=x0-4δ，x3=-(x0-6δ)，…….

若振子经过n个单向运动后静止，由以上规律可递推出振子最终静止的位置，为xn=(-1)n·(x0-2nδ)

到此，我们还没有彻底确定振子的终态位置，还需要确定单向运动次数n.通过上面的分析研究可知

|xn|≤δ，δ<|xn-1|≤3δ

因x0-2nδ不一定大于零，由|xn|≤δ求解n比较麻烦.而x0-2(n-1)δ一定大于零，则

δ

在以上范围内取符合条件的自然数n，即为振子单向运动的次数.n确定后，振子的终态位置也就确定了.

四、振子运动的路程

振子运动路程用逐段位移大小之和求得.参考最后一次单向运动情况(图5和图6)，可得出以下结果：

s=x0+2|x1|+2x2+…2|xn-1|+|xn|

=x0+2(x0-2δ)+2(x0-4δ)

+…2(x0-2(n-1)δ)+|x0-2nδ|

或s=x0+2|x1|+2x2+…2|xn-1|-|xn|

=x0+2(x0-2δ)+2(x0-4δ)

+…2(x0-2(n-1)δ)-|x0-2nδ|

五、结论应用

在x0比δ不太大的情况下，套用上述规律计算终态位置和路程反而比较麻烦.采用递推的办法，思路比较清晰.根据振子对O点的最大位移大小递减规律(公式(3))，依次写出最大位移值，数出单向运动次数n，再计算振子运动的路程.比如，当x0=7.5δ时，最大位移依次为

7.5δ，-5.5δ，3.5δ，-1.5δ，-0.5δ

可知振子最终停留在x=-0.5δ处，单向运动次数为n=4.结合运动示意图求出的路程为s=7.5δ+2×5.5δ+2×3.5δ+2×1.5δ-0.5δ=28δ

在x0比δ大的多的情况下，就得推理最大位移的变化规律，确定单向运动次数，再用数列知识求路程.