315806 浙江省宁波市北仑明港中学 甘大旺

对一道试题解答的否定之否定

315806 浙江省宁波市北仑明港中学 甘大旺

文［1］首先出示了浙江省台州市2011年3月的一道模拟试题(以后简称原试题)——

将3个完全相同的小球随机地放入编号依次为1，2，3，4，5的盒子里，用随机变量ξ表示有球盒子编号的最大值．

(Ⅰ)求 P(ξ=2);

(Ⅱ)求ξ的分布列和数学期望．

然后，文［1］表述命题组的4位专家提供的解题过程，并同时指出命题组的解法是错误的．错在哪里呢?文［1］有下面一个有趣案例来剖析——

某户家庭有两个孩子，问这户人家有男孩女孩各一个的概率是多少?

笔者同意文［1］作者对于有趣案例的解析，问题在于这个有趣案例与原试题虽然可类比但却不是“同构”的，有趣案例属于“不同元素放不同位置”问题，而原试题则属于“相同元素放不同位置”问题，于是不应该把有趣案例的解答思路迁移运用到原试题．所以，文［1］的剖析和更正都是缺少根基的．

我们再来看文［2］中的第8题——

编号依次为1，2，3，4，5的盒子可供3个小球随机地被全部放入，用随机变量ξ表示有球盒子编号的最大值(如ξ=3表示盒3必定有球，盒4、盒5必定无球，盒1、盒2有球或无球，等)．

(1)当这3个小球完全相同时，求Eξ;

(2)当这3个小球两两不同时，求Eξ．

通过比对，我们发现原试题与这道题的第(1)小题是雷同的，文［1］对原试题的“正确解法”其实是把题意误解成为这道题的第(2)小题，其错因在于文［1］“必须把‘完全相同’的小球要看成‘完全不同’的小球”．所以，文［1］的“正确解法”是错误的，命题组的4位专家提供的解题过程是正确的．

顺便地，我们可把原试题推广到一般情形——

此定理的详细论证过程较长，见文［3］．文［3］末尾附有编者后记:“这篇质疑和探究的文章在编辑部引起了激烈的争论…，…，我们相信求真的过程有时比真理本身还要重要”．

此外，假如把这个定理中条件的“无序小球”替换成“有序小球”，其余条件不变，则相应结论如何变更?请读者思考.

1 金胜利.一个概率试题的深思考［J］.中学数学，2011，7

2 甘大旺.新题征展(106)［J］.中学数学，2009，4

3 甘大旺.对一道放球问题的质疑与探究［J］.高中数理化，2007，3

20110922)