315731 浙江省象山县第二中学 吕增锋

“三招齐下”破解含参数函数的导数应用的题

315731 浙江省象山县第二中学 吕增锋

导数在高中数学中可以说是“叱咤风云”，具有深刻的内涵与丰富的外延，在应用中显示出独特的魅力和势不可挡的渗透力．导数是解决函数、方程、不等式、数列和曲线等问题的利器，是沟通初等数学与高等数学的桥梁．以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向．对导数应用的考查的广度和深度也在不断拓宽、加深．尤其是运用导数确定含参数函数的参数取值范围的问题，这类问题不仅综合性强、难度高，而且解题思路妙、方法巧，学生不容易掌握．

例1 (2010年全国Ⅱ理科)设函数f(x)=1-e-x

1 连续求导破解极值存在性问题

本题的基本思想方法是通过等价变形，把不等式问题转化为求函数h(x)=axf(x)+f(x)-x的最值问题．这就需要对h(x)求导，得到h'(x)=a(1-e-x)+axe-x+e-x-1．然后解方程 h'(x)=0，求出极值点．由于方程a(1-e-x)+axe-x+e-x-1=0的解不容易求，所以标准答案选择了放缩法进行求解．事实上对于这样的方程，我们可以利用代入特殊值，如0，1，-1等方式把它的解“凑”出来．通过尝试我们发现x=0恰好是h'(x)的一个解．找到一个解后，问题并没有解决，因为除了x=0外我们还要考虑有没有其它解．这又归为求函数h'(x)=a(1-e-x)+axe-x+e-x-1的值域问题，又要用到导数．我们令m(x)=a(1-e-x)+axe-x+e-x-1(x≥0)，然后再求 m'(x)．

上述解法显然比标准答案中的解法更自然，更大众化，更容易让学生接受．如果要谈解题技巧话，无非是对函数h(x)求了两次导数，即用到了h(x)的二阶导数h″(x)．对于连续求导的思想学生应该能够理解并掌握，因为我们知道求导的重要作用就是通过求极值点确定函数的单调区间，最终求出函数的最值(值域)．只要明白这一点，那不管求导多少次都是同样的道理．

2 分离参数破解分类讨论问题

上述解法相对于标准答案来说确实更加自然了，但这两种解法都用到了分类讨论的思想．我们知道分类讨论向来是学生的“软肋”，对于参数的讨论更是“软肋”中的“软肋”．为了摆脱分类讨论所带来的麻烦，可以尝试一下分离参数法．也就是利用题设条件建立变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解，再由已知变量的范围求出函数的值域，即为所求变量的范围．

上述解法比较繁琐、冗长，但思路单一，方法简单，容易想到．

3 罗必塔法则破解未定式极限问题

在利用分离参数法构造新的函数时，很可能会发生新构造的函数的结构比原来的函数还要复杂，这无形中会增加计算的负担，使学生望而生畏，但我们要坚定信念——外表看似复杂的函数的实际上都非常简单或者非常特殊的，只要我们灵活利用这“三招”，“三招”齐下，多数问题都可以迎刃而解．

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