315731 浙江省象山县第二中学 吕增锋

“三招齐下”破解含参数函数的导数应用的题

315731 浙江省象山县第二中学 吕增锋

导数在高中数学中可以说是“叱咤风云”，具有深刻的内涵与丰富的外延，在应用中显示出独特的魅力和势不可挡的渗透力．导数是解决函数、方程、不等式、数列和曲线等问题的利器，是沟通初等数学与高等数学的桥梁．以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向．对导数应用的考查的广度和深度也在不断拓宽、加深．尤其是运用导数确定含参数函数的参数取值范围的问题，这类问题不仅综合性强、难度高，而且解题思路妙、方法巧，学生不容易掌握．

例1 (2010年全国Ⅱ理科)设函数f(x)=1-e-x

1 连续求导破解极值存在性问题

本题的基本思想方法是通过等价变形，把不等式问题转化为求函数h(x)=axf(x)+f(x)-x的最值问题．这就需要对h(x)求导，得到h'(x)=a(1-e-x)+axe-x+e-x-1．然后解方程 h'(x)=0，求出极值点．由于方程a(1-e-x)+axe-x+e-x-1=0的解不容易求，所以标准答案选择了放缩法进行求解．事实上对于这样的方程，我们可以利用代入特殊值，如0，1，-1等方式把它的解“凑”出来．通过尝试我们发现x=0恰好是h'(x)的一个解．找到一个解后，问题并没有解决，因为除了x=0外我们还要考虑有没有其它解．这又归为求函数h'(x)=a(1-e-x)+axe-x+e-x-1的值域问题，又要用到导数．我们令m(x)=a(1-e-x)+axe-x+e-x-1(x≥0)，然后再求 m'(x)．

上述解法显然比标准答案中的解法更自然，更大众化，更容易让学生接受．如果要谈解题技巧话，无……