● (通州高级中学 江苏通州 226300)

教与学如同教学质量的2只翅膀，只有师与生双翅有力，教与学两翼互动，才能使教学质量飞扬.在解题教学中必须教与学并重，教与学有机结合.反思教学，既要强化教师教的反思，又要关注学生学的反思.这样既能磨砺教师的教学本领，又能锤炼学生的学习能力.下面就一道试题的变式教学谈谈教与学的双重反思,希望能带给读者一点启示.

图1

1 呈现典例

例1走廊的示意图如图1所示，其2边走廊的宽度均为2 m．

(2)一根长度为5 m的铁棒能否水平(铁棒与地面平行)通过该直角走廊?请说明理由(铁棒的粗细忽略不计).

分析这是江苏省南京市2009年高三期末调研测试题中的一道考题，是一道三角函数模型的应用题.第(1)小题需过建模关，第(2)小题需过阅读分析关和运算关.

解(1)由题意得

(2)方法1通分得

于是

因此

故铁棒能水平通过该直角走廊.

方法2求导得

方法3平方得

故铁棒能水平通过该直角走廊.

0

于是

故铁棒能水平通过该直角走廊.

于是

从而

故铁棒能水平通过该直角走廊.

反思(1)解题关键点.

本题的建模过程应该不是很难，而运算应充分抓住原等式的结构特征,认真分析其结构的变化形式,灵活应变,多方位思考,然后使用不同的求解策略加以应对.通过这样的反思，让学生学会如何选择思维的起点，开拓思路，积累破题的经验和规律，培养思维的广阔性.

(2)解题技巧(运算技巧).

策略1利用三角关系式(sinθ+cosθ)2=1+2sinθ·cosθ，通过换元法来实施转化，最终化为函数问题处理.

策略2直接利用导函数法求解.

策略3转化成二次函数问题求解.

策略4直接利用基本不等式求解.

很多数学试题有多种解法，解题后要从多角度思考是否还有其他解法，通过寻找新的方法可以开拓思路，防止思维定势，及时总结出各类解题技巧，养成“从优、从快”的解题思维方式，从而使思维更具有创造性.

(3)解题易错点.

在本题的建模过程中应注意实际问题的定义域，而第(2)小题中应注意到l越小越好，因此求的是l的最小值，运算中应注意θ的取值范围和基本不等式中等号成立的条件.

2 变式引申

变式1直角走廊的示意图(如图2所示)，其2边走廊的宽度均为1 m.现有一平板车，其平板面为矩形，它的长为2 m，宽为l m.

(1)若平板车卡在走廊内，且∠CAB=θ，试求平板面的宽；

(2)若平板车能顺利通过走廊，其宽度不能超过多少米？

解(1)转化为例1，如图3，可知

MN=MD+DN=ME+EF+FN,

于是

得

图2

图3

变式2如图4,一走廊拐弯处外侧是直角形，内侧是半径为1 m的圆弧，走廊直道部分的宽均为1 m.现有一平板车，其平板面为矩形，它的长为2 m，宽为lm.

(1)若平板车卡在走廊内，且∠CAB=θ，试求平板面的宽；

(2)若平板车能顺利通过走廊，其宽度不能超过多少米？

图4

图5

解法1(1)设H为圆弧的圆心，E为平板面的一边与圆弧的切点，连结HE，并延长交AB于点F，交AC延长线于点D.因为

所以

AD=GD-GA=GD-(2-AC)=

2tanθ-2+2cosθ.

又

HD=HE+EF+FD=1+l+AD·sinθ,

所以

即

(2)令sinθ+cosθ=t,则

从而

图6

解法2(1)由圆弧联想到圆，即可建立直角坐标系，解决圆与直线的位置关系问题.如图6,平板面的一边与圆弧相切的直线为GH，则直线GH对应的方程为y=x·tanθ+b，圆O：x2+y2=1，得H(2,2tanθ+b).因为

HC=BC+BH,

所以

联立

得

从而

(2)同解法1.

反思(1)解题关键点:能运用恰当的数学方法去建立解决数学模型，应该自己去领会、体验，只有这样才能将所学知识转化为解决问题的能力．

(2)解题技巧(建模技巧).

策略1从平面几何的角度去建立和发现函数模型.

策略2从解析几何的角度去建立和发现函数模型.

(3)解题易错点.

一道简单的例题通过一系列的变式，合理控制和深化难度，可为训练思维、深化认知、优化认知提供契机，这是培养解题能力、抽象概念能力的重要手段.通过变式教学，将知识串珠成线，从例题的典型性和规律性出发提高例题的“品味”，真正发挥经典例题、习题的多种功能；通过变式教学，不仅能使学生的思维始终处于极度兴奋的状态，思维得到升华，而且这也是课堂上开展研究型学习切实、有效的途径.通过解题后的反思不仅能对知识的形成发展过程、解题思维过程有一个更清楚的认识，还有利于知识的深化、思维的缜密及高效课堂的形成.