● (东沙中学 浙江岱山 316211)

1 问题的提出

题目已知二面角α-l-β的大小为50°，P为空间任意一点，则过点P且与平面α和β所成的角都是25°的直线条数为

( )

A．2 B．3 C．4 D．5

(2009年重庆市数学高考理科试题)

这是一道求解与两平面成等角的直线条数的试题，考查了平移变换、转化化归和空间想象能力.不过，类似的试题早已出现过，例如2004年湖北省数学高考试题：

已知平面α与平面β所成的二面角为80°，P为α，β外一定点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是30°的直线的条数为

( )

A．1 B．2 C．3 D．4

与此类似的题目还有1993年全国数学高考试题：

已知空间2条异面直线a，b所成的角为50°，P为空间一定点，过空间一点P与a,b所成的角都为30°的直线有且仅有( )条

A．1 B．2 C．3 D．4

这2道题目有联系吗？为此，笔者以1993年全国高考题为素材作了一些探究，获得一些结论.

2 与两异面直线成等角的直线条数问题

先看1993年全国数学高考试题的解法：

过空间点P作直线a′∥a，b′∥b，设过a′,b′的平面为α，则在α内不存在过点P与a′,b′成50°角的直线.若所求直线存在，则必在α外，其射线必为a′,b′所成角的角平分线.

(1)对于a′,b′成50°角，记过这个角的平分线且与α垂直的平面为β.在平面β内，旋转直线PC绕点P向α的垂线的位置运动，该直线与a′,b′所成的等角从25°逐渐增加到90°(如图1)，期间必有一位置等于30°，这样的直线在β内有2条，它们关于平面α对称.

(2)对于a′,b′成130°角，直线PC与a′,b′成等角从65°增加到90°，期间不能与a′,b′成30°的角.

综上所述，这样的直线有且仅有2条.

图1

图2

在解决这个问题时，用到了2个常见的结论：

结论1从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角2边的夹角相等，则斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在的直线.

结论2直线AB与平面α所成角为θ1，AB在平面α内的射线AB′与平面α的直线AC所成角为θ2，设∠BAC=θ3，则cosθ3=cosθ1cosθ2.

显然，不难把上题结论推广至一般，即

问题1空间2条异面直线a,b所成的角为θ，过空间一点P与a,b所成的角都为φ的直线l有几条？

有了这2个结论作基础就不难想到，由异面直线所成角的定义，可把异面直线a，b平移到过点P变成a′,b′,设a′,b′确定平面β，则过点P的直线与a′,b′成等角.由结论1，可知l在平面上的射影必落在a′,b′所成角或其补角的平分线上.又由结论2可知，l与a′,b′所成角大于等于l的射影与a′,b′所成角.故有结论：

当a，b所成角θ为锐角时，

当空间2条异面直线a，b垂直时，同样可得上述结论.至此，我们通过用纯几何的方法解决了到2条异面直线成等角的直线条数问题.

变式1和两平面成等角的平面个数.

问题2已知二面角α-l-β的大小为θ，过α,β外一定点的平面γ与平面α和平面β所成角都是φ的个数为几个？

分析显然此问题与问题1等价，即把3个平面的法向量看作3条直线的方向向量，故结论与上题一致.

变式2和两平面成等角的直线条数.

问题3已知二面角α-l-β的大小为θ，过α,β外一点的P，与平面α和平面β所成的角都是φ的直线l有几条？

变式3和两异面直线成等角的平面个数问题.

问题4设空间2条异面直线a，b所成的为θ，问过空间一点P与所成的角都为φ的平面有几个？

至此，通过对“到两异面直线成等角的直线条数”问题的探究，解决了与此问题相近的一类问题.华罗庚先生曾说过，解题要善于“退”，退到简单情形，同时，“我们解决的一个问题，都将成为一个范例，用于其他问题”.在实施新课改的今天，更要利用典型例题，运用变式教学，通过比较、求同、类比、迁移、归纳、转化，引导学生亲身经历如何从一个问题变为一类问题，在数学本质上做文章.