王旭升，万 力

中国地质大学（北京） 水资源与环境学院，北京 100083

课程建设

“地下水运动方程”课程设计

王旭升，万 力

中国地质大学（北京） 水资源与环境学院，北京 100083

“地下水运动方程”是为地下水科学与工程专业本科生开设的一门新课程，以取代过去地下水专业的“数学物理方程”课程。开设这门课的目标是通过有针对性的讲解和讨论，在数学物理方程与地下水动力学之间架起一座桥梁，帮助学生更深入地利用数学知识来理解地下水的运动规律。“地下水运动方程”主要讲授地下水流偏微分方程的解析方法，具有很强的实用性，突出方程解法的灵活性。

地下水运动方程；课程设计；教学大纲；数学

“地下水运动方程”是一门新的课程，属于地下水科学与工程专业本科生的专业基础课。这门课程开设于2008年，专门讲授地下水专业方面所涉及的数学物理方程知识。经过多年的准备和两年的实际教学，我们对“地下水运动方程”的课程性质、授课内容和教学方法有了更深入的认识并初步积累了教学经验。

一、课程意义

在谈论数学的重要性时，人们常常会引用马克思的论述，“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”地下水科学之所以能够成为一门独立的学科，正在于成功地应用数学描述了地下水运动的基本物理规律。人类在积累地下水知识的过程中，不断通过实验和数学推理研究地下水流动现象中各种物理量之间的相互关系[1]，揭示出地下水运动的基本规律，逐渐形成了地下水动力学的理论体系[2-3]。在这个过程中，数学物理方程作为一个工具，功不可没。地下水科学与工程方面的专业工作者，要想深刻理解地下水的特性和运动规律，正确利用地下水动力学理论解决实际问题，数学物理方程的知识是必不可少的。

长期以来，地下水专业类的学生在学习“地下水动力学”之前，“数学物理方程”是必修课程[4]。然而，通常大学本科所讲授的“数学物理方程”面对不同专业需求，内容较为宽泛，在有限课时的课堂教学中，学生只能掌握一些基本概念和分析方法，而且常常接触到的是一些波动问题、热传导问题的算例，对地下水专业的需求缺少针对性。地下水动力学面对的主要是抛物型和椭圆型偏微分方程，往往要使用积分变换等方法进行求解，对于有界问题则需要使用分离变量法求解，求解过程中经常会出现一些特殊函数。“数学物理方程”课程与地下水动力学的这种脱节，影响了地下水专业人才的培养。正因为专门数学知识的缺乏，使我国地下水科学研究邻域中大量原创性的思想和成果因缺乏精确的表述，而得不到国际上的认可。

开设“地下水运动方程”课程的目标，就是希望通过有针对性的讲解和讨论，在数学物理方程与地下水动力学之间架起一座桥梁，帮助学生更直接、更深入地利用数学物理方程以及应用数学方面的知识来描述、理解地下水的运动规律。此外，加强该部分内容的学习，对丰富我国地下水科学领域内人才的知识结构、培养高素质的人才将会起到促进作用。

二、教学大纲与教材

1.教学大纲设计

“地下水运动方程”不是照搬“数学物理方程”，另外也不能重复现有的“地下水动力学”课程。我们在充分考虑“地下水动力学”的传统教学内容和地下水科学新进展的基础上，参考“数学物理方程”的知识体系，制定了“地下水运动方程”的教学大纲。“地下水运动方程”课程安排在“水文地质基础”课程之后，在“地下水动力学”课程之前。“数学物理方程”不再作为本专业课程。

目前，“地下水运动方程”课时为48学时，主要采用课堂教学的方式。教学大纲以地下水流偏微分方程的解析法为主要内容，安排了4章30个学时，占总学时数的62.5%。其中又以二阶线性椭圆形偏微分方程的求解为重点内容。在此之前安排了绪论和地下水运动数学描述方面的内容，以使本课程与“水文地质基础”课程、“地下水动力学”课程之间建立承前启后的关系。在此之后，安排了对流-弥散方程和地下水流方程数值解法方面的内容，进一步拓展学生对地下水流及与其相关的物质能量运动过程的数学理解，并补充应用数学方面的知识。

“地下水运动方程”以“大学数学”、“大学物理”为基础课，同时要求学生掌握复变函数的基础知识[5]。另外，“地下水运动方程”涉及一些特殊函数，但这些特殊函数不属于本课程的重点内容，除了在课堂教学中适当加以讲解以外，也要求学生进行自学。

2.教材

此前，我国地下水科学领域尚没有一本专门讲述地下水运动数学基础的书籍和教材，给组织讲义增添了很多困难，暂用《数学物理方程》和《地下水动力学》作为辅助教材。为此，我们着手编写《地下水运动方程》作为专门教材。由于是新开课程，我们采取开课、编写讲义、撰写教材同时进行的策略，组织完善课程材料。现在，《地下水运动方程》已经编撰完成，即将出版。

《地下水运动方程》一书共分7章。第1章简述了经典地下水动力学和渗流力学的基本物理量和不同类型的方程，介绍了偏微分方程定解问题的构成以及线性偏微分方程的叠加原理。第2～5章较为详细地阐述和讨论了地下水运动方程的各种求解方法，其中：第2章阐述了稳定流一维问题、轴对称问题的解法及复变函数描述方法；第3章阐述了求解有界非稳定流问题的分离变量法；第4章阐述了求解非稳定流问题的积分变换法（Laplace变换法和Hankel变换法）、Boltzmann法和源函数积分法；第5章简述了非线性Boussinesq方程和其他一些复杂方程的解法，同时介绍了随机方程的类型和主要特征。在第6章，重点阐述了溶质运移的对流-弥散方程及其若干解析解，同时对含水层水热迁移所涉及的对流-弥散-传热方程进行简要讨论。最后一章阐述了用数值方法求解地下水运动方程的基本思路，并初步给出了有限差分法和有限单元法的离散方程。书后含有“二阶线性偏微分方程及其分类”、“线性常微分方程的解法”和“Bessel方程及Bessel函数”3个附录。该书在阐述解析解推导过程时，尽可能突出重点，省略一些繁琐的中间步骤，以便读者掌握关键思路和结果。

三、教学方法

“地下水运动方程”既要准确应用偏微分方程的基础理论，又具有很强的实用性，实际上起着为地下水动力学分析和计算服务的作用。从这个特性出发，在课堂教学过程中突出应用，而不拘泥于纯数学的推演。偏微分方程的求解技巧是课程教学的核心，需要一边讲授一边让学生反复的练习，以逐渐领悟各种求解方法的步骤和适用条件。

“地下水运动方程”的讲解也遵循由简到难的教学原则。在教学内容上首先安排稳定流方程的求解方法，因为稳定流方程主要是常微分方程，求解步骤较为简单。常微分方程的求解在“数学物理方程”课程中往往被忽略，而在“地下水运动方程”中占有较大的分量，对引导学生应用数学工具解决地下水流模型具有很强的引导作用。在非稳定流方程的求解方面，分离变量法是最基础的内容，重点讲解一维非稳定流方程的详细求解过程，并在课堂上进行较大强度的练习，二维、三维和轴对称问题的求解尽可能在教学中引入阅读和独立思考环节，加强对方法的掌握。非稳定流方程的积分变换求解方法具有很大的灵活性，加上Boltzmann法和源函数积分法的应用，使地下水流问题的求解技术具有多种选择。例如，著名的Theis公式[2-3]就可以分别用Lap lace变换、Hankel变换、Boltzmann法以及源函数积分法这4种方法推导出来。因此，教学过程中必须强调应用数学工具的灵活性，达到融会贯通的效果。

随着“地下水运动方程”课程教学实践的持续进行，不断总结经验，这门课程将会进一步完善，并为促进地下水科学与工程人才的培养发挥重要作用。

参考文献：

[1] 张宏仁.地下水水力学的发展[M].北京：地质出版社，1992.

[2] 陈崇希，林敏.地下水动力学[M].武汉：中国地质大学出版社，1999.

[3] 薛禹群.地下水动力学(第二版)[M].北京：地质出版社，1997.

[4] 谷超豪，李大潜，陈恕行，等.数学物理方程(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2002.

[5] 李红，谢松法.复变函数与积分变换[M].北京：高等教育出版社，2008.

Course Design of Equations of Subsurface Hydraulics

WANG Xu-sheng, WAN Li
China University of Geosciences, Beijing 100083, China

Equations of subsurface hydraulics is a new course for undergraduates in the major of groundwater science and technology, to replace the course of mathematical physics equation. Purpose of the course is to build a bridge between mathematical physics equation and subsurface hydraulics according to pertinent teaching and discussions, so that the students can well understand the rule of groundwater movement through mathematics. The main content in equations of subsurface hydraulics is the analytical methods in solving partial equations of groundwater movement. It is a practicability course and the method is highlighted in teaching.

equations of subsurface hydraulics; course design; teaching principles; mathematics

G 642

A

1006-9372 （2010）04-0112-03

2010-09-16。

王旭升，男，副教授，主要从事地下水科学与工程的教学和研究工作。