刘　超

海伦公式即三角形面积公式：S△=s(s-a)(s-b)(s-c)，其中s=12(a+b+c)，a,b,c是三角形三个边的长，这个公式远在古希腊阿基米德就知道，后由希腊人海伦（Heron）（生于公元前125年）在他的著作《测量术》（metrica）一书的“度量表”章中首先证明了这一公式，还举了求边为13，14，15之三角形面积一例. 在与世隔绝的中国南宋时期（约公元1247年），数学家秦九韶在他的《数书九章》中独创地讨论到它，名为“三斜求积术”，大斜，中斜，小斜分别表示三角形三边，求面积. 把他的结论用现代算式表示是S△=14［b2c2-(b2+c2-a2)2)］2，せ简后与海伦公式是等价的，故它又被命名为海伦——秦九韶公式.

现行教材对公式没加论证就使用了，本文按照历史的顺序给出关于海伦公式的证明方法，以消除在教学中对公式的疑惑.

1 海伦的证明

海伦（Heron），古希腊数学家，力学家，机械学家，生活于欧几里得（Euclid）之后约350年左右，主要活跃于亚历山大里亚. 海伦注重数学的实际应用，这从他留传下来的著作中可以发现，如《测量术》（metrica），《屈光学》（dioptra）等. 海伦公式出自《测量术》一书，这本书被认为是一本实用的测量手册方面的代表作. 在《测量术》第一卷中，海伦讨论了给定三边长的三角形面积求法，即海伦公式，下面是海伦的证明方法.

如图1，△ABC的三边长分别为a,b,c，I为△ABC的内心，OD=OE=OF=r为△ABC内切圆半径长，令s=a+b+c2，延长BC至H，使CH=AF，则有s=BH，因S△=s•r,即S△=BH•OD，作CK⊥BC,OK⊥BO，有∠BOK=∠BCK,故B,O,C,K四点共圆，∠CBK=∠3，因圆O内切于△ABC，有∠1+∠2+∠4=90°，在△BOC中，OK⊥BO，得∠1+∠2+∠3=90°，所以∠CBK=∠4，得△OAF∽△CBK，BCCK=AFOF=CHOD，又OD⊥BC,CK⊥BC，即OD∥CK，CKOD=CLLD，得BCCH=CKOD=CLLD，由合比性质BHCH=CDLD，BH2CH•BH=CD•BDLD•BD，而OD2=LD•BD，即BH2CH•BH=CD•BDOD2，BH=CH•BH•CD•BDOD2，S△=BH•OD=CH•BH•CD•BD，ビ肅H=AF=s-a,BH=s,CD=s-c,BD=s-b代入即得S△=s(s-a)(s-b)(s-c).

2 梅文鼎的证明

ッ肺亩 (1633-1721) 生于明末，长于清初，27岁时拜师学习天文历法，五年后完成了他的第一部创作，从此开……