王　峰

1. (南宁市)如图1,A是一枚硬币圆周上的一点,硬币与数轴相切于原点0(即A点与0表示的点重合).假设硬币的直径为1个单位长度.若将硬币沿数轴正方向滚动一周后,点A恰好与数轴上的点A′重合,则点A′对应的实数是 .

2. (沈阳市)估算+3的值().

A. 在5和6之间B. 在6和7之间

C. 在7和8之间D. 在8和9之间

3. (浙江)沈老师在讲“实数”时,画了一个图(如图2):以数轴上单位长度的线段为边作一个正方形,然后以原点为圆心,正方形对角线的长为半径画弧,交数轴于点A.作这样的图是用来说明 .

4. (荆州市)有一个数值转换器,原理如下:

当输入的x为64时,输出的是().

A. 8B. 2C. 2 D. 3

5. (杭州市)在图3中的两个椭圆内各有一些实数,请你从中分别选出2个有理数和2个无理数,再用“+､-､×､÷”中的3种符号将选出的4个数进行3次运算,使得运算的结果是一个正整数.

6. (北京)定义新运算“☆”:对于任意实数a､b,都有a☆b=b2+1.例如,7☆4=42+1=17.那么5☆3= ;当m为实数时,m☆(m☆2)= .

7. (无锡市)在实数原有运算法则中我们补充定义新运算“”如下:当a≥b时,ab=b2;当a

8. (嘉兴市)定义一种对正整数n的“F ”运算:①当n为奇数时,结果为3n+5;②当n为偶数时,结果为其中k是使为奇数的正整数.并且运算重复进行.例如取n=26,则:

若n=449,则第449次“F ”运算的结果是.

9. (大连市)试先用计算器计算:,,,…

请你猜测的结果为 .

10. (南昌市)请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中(如图4),画出1个所有顶点均在格点上,且至少有一边长为无理数的等腰三角形.

11. (齐齐哈尔市)如图5,在网格中有一个四边形OABC.

(1)请你画出此图案绕点O沿顺时针方向旋转90°､180°､270°的图案,你会得到一个美丽的图案,千万不要将阴影位置涂错.

(2)若网格中每个小正方形的边长为1,旋转后点A的对应点依次为A1,A2,A3,求四边形AA1A2A3的面积.

(3)这个美丽的图案能够说明一个著名结论的正确性,请写出这个结论.

12. (山西)关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容——勾股数组(也叫勾股数),在课本中我们已经了解到,“能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数”.下面是确定勾股数组的两种方法.

方法1:若m为奇数(m≥3),则a=m,b=(m2-1)和c=(m2+1)是勾股数组.

方法2:任取两个正整数m和n(m>n),则a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2是勾股数组.

(1)从以上两种方法中任选一种,证明以a､b､c为边长的三角形是直角三角形.

(2)请根据方法1和方法2按规律填写下列表格:

(3)某园林管理处要在一块绿地上植树,使之构成如图6所示的图案景观,该图案由四个全等的直角三角形组成.要求每个三角形顶点处都种一棵树,各边上相邻两棵树之间的距离均为1 m.如果每个三角形最短边上都植树6棵,那么这四个直角三角形的边上共需植树多少棵?

参考答案

2. C 提示:我们先把问题的着眼点放在带根号的无理数上,找到两个相邻的整数,使这个无理数处在这两个整数间.由16<24<25,故有4<<5,然后再利用不等式的基本性质进行恒等变形,得出4+3<+3<5+3,从而容易发现+3是在7和8之间的一个无理数,故选C.

3. 略.提示:本题是表明如何在数轴上找到表示无理数的点.从所给的图形容易知道正方形的对角线长为,根据同圆的半径相等可知点A对应的实数为.这从另一个侧面说明数轴上的点所表示的数并不都是有理数.

4. B

5. 答案不唯一.例如:3+(-6)-(-×)=3.

6. 10 26

7. -2 提示:关键是理解提供的运算法则,根据数之间的大小关系选择相应的运算.(1x)·x-(3x)=(12)·2-(32)=1×2-22=-2.

8. 8 提示:首先弄清楚“F ”运算的意义,然后对正整数n分情况(奇数､偶数)循环计算.由于n=449为奇数,应先进行F①运算,即3×449+5=1 352(为偶数),需再进行F②运算1 352÷23=169(奇数),再进行F①运算得到3×169+5=512(为偶数),再进行F②运算512÷29=1(奇数),再进行F①运算得到3×1+5=8(偶数),再进行F②运算得到8÷23=1(奇数),再进行F①运算得到3×1+5=8(偶数)……这样循环计算一直到第449次“F ”运算,得到的结果为8.(反思上面运算,第1次运算结果为1 352,……,第4次运算结果为1,第5次运算结果为8,第6次运算结果为1,第7次运算结果为8……可以发现从第6次运算结果开始循环,且奇数次皆为8,偶数次皆为1,而第449次是奇数次,结果应为8)

9. 10n 提示:这是一道关于算术平方根的规律探索型问题,容易计算出,,的结果分别为10,100,1 000,从而猜想=10n.

10. 如图7.提示:本题答案不唯一,只要符合要求即可.

11. (1)画出图案如图8.画图时注意旋转中心为点O,找准旋转90°､180°､270°后点A､B､C所处的位置,标上相应的字母,另外还应注意是按顺时针方向进行旋转的.

(2)观察画出的旋转后的图形,可以知道:四边形AA1A2A3的面积等于四边形BB1B2B3的面积减去4个△ABC的面积,又因四边形BB1B2B3为正方形,所以四边形AA1A2A3的面积为(3+5)2-4××3×5=34.

(3)这个著名的结论就是勾股定理,即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,也即AB2+BC2=AC2(∠B=90°).

这可由(AB+BC)2=AC2+4××AB×BC证得.

12. (1)选取方法1给出证明.

由给出的a､b､c的表达式及m的取值范围容易判断c最大,因为c2-b2=(m2+1)2-(m2-1)2=(m2+1)+(m2-1)(m2+1)-(m2-1)=m2·1=a2,变形得a2+b2=c2,所以以a､b､c为三边长的三角形是直角三角形.

(2)略.

(3)由条件可知三角形的三边长均为整数米.根据每个三角形顶点处都种一棵树,各边上相邻两棵树之间的距离均为1 m,且每个三角形最短边上都植树6棵,可知最短直角边长为5 m.从表格中不难发现另外两条边长分别为12 m､13 m,因而一个直角三角形的边上植树为6+13+14-3=30(棵).故四个直角三角形的边上共需植树30×4=120(棵).

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文