王　永

数学的产生与发展有两种不竭的动力。一是解决现实问题的需要，由此生成的是数学与现实生活的联系;二是数学理论本身发展的需要，由此生成的是抽象的数学知识之间的联系。按照荷兰数学教育家弗赖登塔尔对数学化的分类※，也可以这样理解：与前者对应的数学活动，是生活与数学的联系过程，就是横向的数学化;与后者对应的，即抽象的数学知识之间的归纳、概括、推理、论证、推广、引申等，则是纵向的数学化。

横向数学化与纵向数学化作为两种数学活动，对于数学教育来说也具有同等的地位。如果运用这种理论框架来考察“a能表示什么”这节课，我们也许更容易发现课堂事件或情节的教育价值，更容易察觉到它的得失，找到改进教学的有效策略。

一

下面，先来分析这节课的学习任务：

1.摆一个正方形需要几根火柴棒？

2.按如图（图略）的方式，摆2个正方形需要根火柴棒，摆3个正方形需要根火柴棒。

3.摆10个这样的正方形，需要多少根火柴棒？

4.摆100个这样的正方形，需要多少根火柴棒？

5.如果用a表示所摆正方形的个数，那么摆a个这样的正方形需要多少根火柴棒？

这是来自现实的任务，首先要求进行横向数学化，例如，在讨论问题2或3时，需要通过横向数学化找出问题的结构，从而列出相应的算式。对这些任务中具有相似性的一类问题进行归纳，如发现问题2与问题3一些算法之间存在同构性，则是纵向数学化的问题了。

我们看到，学生是通过横向数学化解决问题3的，先后列出如下四个算式：