夏晓丹

特色与亮点

①课件中插入视频直观呈现筒车运动的现实情境，有利于引导学生用数学的眼光看现实世界。

②课件中插入绘制好的几何图形，学生通过观察分析、对比总结，将匀速圆周运动中的物理关系“翻译”成几何关系，并获得函数关系，培养了学生用数学的语言描述现实世界。

③课件中通过超链接，直接呈现制作好的各参数对函数y=Asin（ωx+φ）图象影响的动画，通过追踪点的轨迹绘制函数y=Asin（ωx+φ）的图象，将现实的关系用几何的方法直观动态地呈现，使得本课件生动有趣、图象变换动态直观；利用几何画板软件绘制函数y=Asin（ωx+φ）图象不仅使“画图象”变得简单，而且使“参数φ，ω，A的变化”引起相关对象的运动变化也有了更直观的呈现，有助于理解其内在的逻辑关系。

制作背景

本节课是典型的数学模型探索课程，学生需要从现实问题中抽象概括出数学模型，对该数学模型的图象与性质进行研究，并利用该数学模型解决问题。为了实现较好的课堂教学效果，引导学生学会用数学的眼光看现实世界，学会用数学的语言描述现实世界，并培养学生的数学建模素养，本课件通过视频展示、动画演示，引导学生经历数学建模的全过程，通过自己动手實验，真正体会数学模型是如何建立的。

本课件的制作实现了生活现象数学化，学生可以通过观察视频、动画，发现数学中的三角函数、物理中的匀速圆周运动以及现实中的筒车运动之间的内在的联系。课件从筒车运动的实际问题出发，让学生体会从已知出发去探索未知、从特殊到一般进行提问的研究思路，渗透了数学源于生活的本质。

设计思路及内容结构

1.设计思路

本单元选自人教A版（2019）第五章第6节，建议用2课时完成。第1课时（如图1），经历对筒车运动的数学建模过程，提出对数学函数y=Asin（ωx+φ）的研究思路，探究参数φ，ω对函数y=Asin（ωx+φ）的影响。第2课时（如下页图2），在第1课时的基础上，继续研究参数A对函数y=Asin（ωx+φ）的影响，并归纳总结出从正弦函数图象出发，通过图象变换得到函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）图象的过程与方法；会用“五点法”和图象变换的方法画函数y=Asin（ωx+φ）的简图，并能应用函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质解决简单的实际问题。

借助筒车这一现实模型，说明函数y=Asin（ωx+φ）与现实中的匀速圆周运动之间的内在联系；通过对筒车运动变化规律的观察分析、抽象概括，获得函数模型y=Asin（ωx+φ），能说出参数φ，ω，A以及变量x，y的物理意义，进一步体会三角函数与现实世界的密切联系，发展数学建模素养。

借助几何画板软件，通过数学实验，经历平移变换和伸缩变换获得函数y=Asin（ωx+φ）的图象，掌握参数φ，ω，A对函数图象的影响，理解参数φ，ω，A在圆周运动中的实际意义，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的素养。

在研究参数φ，ω，A对函数y=Asin（ωx+φ）图象的影响时，参数多，解析式、图象中的各要素之间的关系比较复杂，相互关联比较隐蔽，准确作图也比较困难。课件中利用几何画板（如图3）快速准确地画图，直观呈现各参数对函数图象的影响，引导学生在观察发现的基础上进行理性思考，得出一般结论，进而突破教学难点。

2.内容结构

（1）环节1：创设问题情境，提出研究问题

课件中插入视频（如图4）呈现筒车运动过程实景，引导学生将其抽象成质点的匀速圆周运动，渗透数学源于生活的本质，引出本课的核心内容。

（2）环节2：抽象简化问题，建立函数模型

课件通过几何画板制作筒车运动动画（如下页图5），将筒车运动抽象成质点的匀速圆周运动，观察运动中的相关要素，抽象出其中的几何对象与几何关系，引导学生分析其中的变量和常量，寻找盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系，从而突破数学建模这一难点。

结合筒车的圆周运动研究函数y=Asin（ωx+φ），不仅能联系实际，突出参数φ，ω，A的物理意义，而且能够联系函数解析式、函数图象，并充分揭示它们之间的内在逻辑关系，为提升学生数学抽象、直观想象和逻辑推理等数学素养提供重要平台。

（3）环节3：探究φ，ω，A对函数图象的影响

课件中取参数的初始值A=1，ω=1，φ=0，此时动点在单位圆上从点Q出发以单位速度转动，经

通过一定量的积累后，学生形成图象伸缩变换的感性认识，再进一步从物理角度、几何关系、函数关系、点的坐标关系等角度进行分析，在此基础上，得到参数ω对

在针对函数y=Asin（ωx+φ）的研究过程中，通过一连串的“思考”与“探究”，引导学生观察、分析、归纳、概括、抽象、联想、综合、总结。由于参数φ的变化涉及函数图象的平移变换，学生已有一定的学习经验，建议首先研究；参数ω的变化涉及函数图象的伸缩变换，是学习的难点，需要重点突破；有前面学习内容做铺垫，对参数A对函数图象的影响学生能够自主研究完成。每一个参数的探索都要遵循从特殊到一般、从具体到抽象的研究思路，一方面结合筒车运动模型解释各参数的实际意义，另一方面从相应函数图象上点的坐标变化看图象的变换，真正理解图象变换的本质。

（4）环节4：画函数y=Asin（ωx+φ）的图象

通过以上的数学实验探究，学生了解了参数φ，ω，A对函数y=Asin（ωx+φ）图象的影响。通过“思考”要求学生总结、提炼出图象变换规律，进而说明由正弦函数图象，经过平移变换、横坐标的伸缩变换（周期变换）、纵坐标的伸缩变换（振幅变换）三种图象变换得到函数y=Asin（ωx+φ）的图象的过程与方法：从正弦曲线出发，先进行相位变换，再进行周期变换，然后进行振幅变换。

通过课件引导学生从局部的讨论过渡到整体的思考，从特殊的例子归纳概括出一般性的结论，得到从正弦函数的图象出发，通过图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）图象的过程与方法，并提醒学生注意比较不同变换顺序之间的差异。同时，引出“五点法”作图，并从两种方法的联系上来加深学生对y＝Asin（ωx+φ）图象的认识。

（5）环节5：小结

出示以下问题：①概述本单元知识的基本脉络。②如何理解函数y=Asin（ωx+φ）中参数φ，ω，A的物理意义？说明各参数对函数y=Asin（ωx+φ）图象的影响。③如何由正弦曲线通过图象变换得到函数y=Asin（ωx+φ）的图象？④在研究函数y=Asin（ωx+φ）图象的过程中，哪些思想方法值得总结？

关键技术处理

①使用几何画板软件制作筒车运动动画和各参数对函数y=sin（ωx+φ）图象的影响动画，需要使用几何画板软件的功能包括绘制图形、绘制点、定义新参数、创建新参数动画、建立动画操作台、构造新函数、绘制函数图象、追踪点的轨迹、隐藏函数图象、隐藏点等。

②使用PPT中的屏幕录制功能录制筒车运动模型的动画；采用超链接的呈现动画，即点击链接就可以打开制作好的动画GSP文件。想要打开动画GSP文件可以将GSP5chs程序拷贝到U盘里，打开方式是先找到U盘，再找到GSP5chs程序即可。还可以将GSP5chs程序拖拽到计算机桌面，打开方式是先找到桌面，再找到GSP5chs程序即可。

③使用花瓣剪辑软件对视频、动画进行后期剪辑。

幕前幕后

在制作本课件前笔者提前制作筒车运动模型的动画、参数φ，ω，A分别对函数y=Asin（ωx+φ）图象影响的动画、函数y=Asin（ωx+φ）图象变化的动画。通过本课件的制作，笔者对数学实验软件使用的能力有了很大的提高，接下来笔者会继续学习多媒体课件制作的相关知识，并将信息技术应用到合适的课堂教学中。