［摘  要］ 系统思维是整体地、动态地、连续地思考问题的思維模式，是在复杂动态系统中的一种以简驭繁的智慧. 基于系统思维的课堂设计能够更好地遵循学生的认知规律，体现知识的生长规律，并有效选择教学方法，便于学生自主探究、自主建构，从而真正落实从教到学的根本转变. 基于系统思维的课堂教学有利于学生从整体上习得知识，获得知识背后的学习方法和学科思维，从而形成知识结构，有利于学生学习能力的有效提升以及学生核心素养的有效落地.

［关键词］ 系统思维；问题导学；自主建构；高中数学

系统思维就是把认识对象作为一个系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系和相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法. 培养系统思维，可使学生养成全面思考问题的习惯，做到见木见林，进而让学生面对数学问题时，能从一个整体的高度认识解决问题的目标、路径及过程策略的优化等. 笔者曾参加过江苏省高中数学青年教师优秀课评比，在系统思维观的指引下，设计并执教了人教A版高中数学必修2“直线与平面垂直”第一课时，受参赛评委一致好评，获得一等奖.

教学设计

1. 唤起旧知：在“纵贯”中引入课题

问题1 空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？根据学习进程以及所研究对象的特例性，本节课我们该研究什么内容？

设计意图 在直线与平面位置关系的系统中引出课题，强调知识的系统性与关联性，培养学生全面思考问题的习惯.

简析 直线与平面的位置关系有“直线在平面内”“直线与平面平行”“直线与平面相交”. 当直线与平面相交时，直线与平面垂直最为特殊，本节课我们该研究直线与平面垂直.

如圆锥SO的轴与底面、跨栏架的立柱与地面、旗杆与地面，都给了我们直线与平面垂直的形象.

问题2 对于直线与平面平行的关系，我们是从哪些方面进行研究的？采取了怎样的研究方法？我们该如何去研究直线与平面垂直的关系？

设计意图 设法唤起学生学习直线与平面平行关系时所积累的经验，在研究直线与平面位置关系这个系统思维的指引下，明确本节课“要研究什么”的同时还要知道“怎样去研究”，提高学生学习的目的性和自觉性.

简析 对于直线与平面平行的关系，我们研究了它的定义、判定定理和性质定理，采用的是“把线面平行转化为线线平行”的研究方法.类似地，直线与平面垂直的关系也可以从这样几个方面去研究.

2. 实例观察：在“横联”中感知概念

问题3 观察圆锥SO（如图2所示），它给了我们轴SO垂直于底面的形象. 轴SO与底面内的哪些直线垂直呢？

设计意图 借助系统思维研究一个具体对象，一般过程可以是：背景—定义及表示—划分—判定和性质—应用. 此问题以圆锥的轴SO垂直于底面的形象为实例情境，让学生直观感知后研究轴SO与底面内直线的位置关系——将线面垂直转化为线线垂直去研究，体会空间问题平面化的数学思想方法，进而在认识直线与平面垂直特征的基础上概括出直线与平面垂直的定义，并加以表示.

简析 观察圆锥SO（如图2所示），它给了我们轴SO垂直于底面的形象.轴SO与圆锥底面内的每一条半径都垂直，而半径可看作底面内过点O的直线，即轴SO与底面内过点O的所有直线都垂直. 底面内不过点O的直线可以通过同面直线平移过点O，即轴SO与底面内的任意一条直线都垂直.

由此得到直线与平面垂直的定义（下文简称定义）：一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们说这条直线与这个平面互相垂直.

类似直线与平面平行的研究，可以画出它的示意图，用符号加以表示.

l?α（l是任意一条直线）?a⊥α.

问题4 （1）如果直线a与平面α内的无数条直线垂直，那么直线a垂直于平面α吗？

（2）如果直线a与平面α垂直，那么直线a垂直于平面α内的任意一条直线吗？

设计意图 以问题“如果直线a与平面α内的无数条直线垂直，那么直线a垂直于平面α吗”对定义中的关键词“任意”进行辨析，让学生深刻理解概念的内涵；以问题“如果直线a与平面α垂直，那么直线a垂直于平面α内的任意一条直线吗”对定义的充分必要性进行辨析，让学生全面理解定义.

简析 直线a与平面α内的无数条直线垂直，可能是线在面内，也可能是线面平行，还可能是线面斜着相交（如图4所示）. 这说明，定义中的“任意一条”十分关键.

3. 简单运用：在“迁移”中理解内涵

问题5 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

设计意图 对定义的简单运用，让学生明白用定义证明直线与平面垂直的关键是要说明直线与平面内的任意一条直线都垂直，从而进一步理解定义的内涵. 另外，在问题的解决中，定义既是判定线面垂直的一个依据，又反映了线面垂直的一个性质. 定义不仅可以由线线垂直得到线面垂直，也可以由线面垂直得到线线垂直，这正是定义的两个方面.

理解内涵 从a⊥α推得a⊥m，体现的是由线面垂直得到线线垂直；从b⊥m推得b⊥α，体现的是由线线垂直得到线面垂直. 整个证明过程体现了线线垂直与线面垂直的相互转化，体现了定义的两个方面.

问题6 观察跨栏架，它给了我们立柱和地面垂直的形象，你能用定义说明立柱与地面垂直吗？

设计意图 定义通常可以用来作为判定线面垂直的依据，在此实际问题解决中，学生体会到问题5与问题6的不同与区别，感受到用定义判定的不便与困难，引发学生新的认知冲突，使学生明白探索判定定理的必要.

简析 要用定义说明立柱与地面垂直，就要说明立柱与地面内的任意一条直线都垂直，这比较困难，甚至几乎无法实现. 这表明，用定义难以说明立柱AB与地面垂直，类似直线与平面平行的判定，我们需要寻求一个简单可行的判定线面垂直的方法.

4. 实验例证：在“探究”中寻觅判定

问题7 如果直线a只要与平面α内的有限几条直线垂直，就可得直线a与平面α垂直，那么判断方法不就简化了吗？要减少平面内与直线a垂直的直线，减少到多少条最合适呢？大家一起来做个实验，根据给你的直角和软管，需要几个直角就可以将软管竖立在桌面上呢？

设计意图 这既是一个系统思维，又是一个思维系统，问题7承接着问题6，让学生在系统思维的指引下，直观感知线面垂直的形象，得到相应的归纳猜想，进而通过实验操作的方式得以确认，发现垂直于一条直线不行，垂直于两条平行的直线也不行，垂直于两条相交直线就能保证直线垂直于平面，最终让学生心悦诚服地接受“判定定理”，并得到符号语言和其中所蕴含的思想.

教学过程 小组合作探究、操作实验、汇报交流、总结归纳.

归纳概括 猜想直线a与平面α内的一条、两条、三条直线垂直，分组实验验证（每组三个直角，一个套管，如图6①所示），摆出一条直线与平面垂直的模型.

通过试验可知，将平面内直线减少到一条，不能摆出线面垂直的模型（如图6②所示）；将平面内直线减少到两条，可以摆出线面垂直的模型（如图6③所示），但两直线平行时不能（如图6④所示）. 由此，可猜想并验证得到：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面——这就是直线与平面垂直的判定定理.

直线与平面垂直的判定定理的本质是“由线线垂直推得线面垂直”.

5. 有效猜想：在“发现”中厘清性质

问题9 到此，我们就研究了直线与平面垂直的定义，也找到了判定直线与平面垂直的方法. 那么，直线与平面垂直有哪些性质呢？观察图片（图1），两根旗杆垂直于地面，两根旗杆具有怎样的位置关系呢？能加以证明吗？

设计意图 随着学习进程的不断推进，跟着研究一个对象的系统思维，自然地，要进一步研究线面垂直的有关性质. 同样的，通过感知图片中线面垂直的形象，猜想有关结论，继而证明结论的正确性，得到线面垂直的性质定理.

简析 已知：a⊥α，b⊥α. 求证：a∥b. （证明略）

用文字语言叙述出来，就是“如果两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行”——这就是直线与平面垂直的性质定理，它体现的是由线面垂直得到线线平行，为今后证明线线平行又提供了一种方法.

6. 总结反思：在“思想”中培育慧心

问题10 回顾本节课所学的直线与平面垂直，我们是从哪些方面去研究的？又是怎样去研究的？

设计意图 从知识、思想、方法等系统思维归纳、总结、提炼本节课所学，让学生进一步理解并掌握线面平行、线面垂直的系统性研究思维. 提升系统思维水平是培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力的关键举措.

简析 本节课研究了直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理.

教学反思

1. 在“最近发展区”实现“三个理解”是系统思维培养的前提

章建跃老师说过，数学教学的三大基石是理解数学、理解学生、理解教学. 理解数学是教师对教材的理解与把握，也是教师专业素养的体现，还是理解应该教给学生什么，它是结合学生实际，选择合适的教学方法实现有效教学的前提. 理解学生是教师要认清学生的已有知识基础，它是找准学生认知生长点的关键，是在学生最近发展区设计教学的根本.理解教学是教师根据教学内容的特点和学生的实际水平灵活选择适合的教学方法，是为学生做好前后一致、逻辑连贯的教学设计的根本. 有了这三点，才能正确运用系统思维观，也才能在此基础上促使学生在掌握知识的同时学会真正思考.

直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，也是直线与平面所成的角等内容的基础. 它是空间中直线与直线垂直的拓展，也是平面与平面垂直的基础，还是线线垂直和面面垂直的连接纽带，突出体现了“降维转化”的数学思想方法，因此线面垂直是空间中的垂直关系相互转化的重心.

充分认识本节课在直线与平面位置关系系统中的地位与作用，通过本节课的学习，学生收获的不只是知识，更重要的是感受到了这些知识背后所蕴含的数学思维.

2. 在“过程参与”中实现主体建构是系统思维培养的目标

本节课从直线与平面位置关系系统中引出课题，依照“背景—定义及表示—判定—性质—应用”的思维结构进行设计，借助学生熟悉的几何体——圆锥，引导学生直观感知直线与平面垂直的特征，结合具体事例中线面垂直的形象，通过理解、抽象，概括出线面垂直的定义，再结合实际应用的需要，让学生在探究、理解和实验中找到线面垂直的判定定理，最后从研究对象的系统出发，发现并证明线面垂直的性质定理. 在此过程中，教师仅辅以适当的启发、引导，并适度参与.

在这个过程中，学生在系统思维的指引下，自觉运用着渗透化归、降维转化等数学思想方法，自觉进行着深度思考，厘清了线面垂直的基础是什么，它的“根”在哪里，它的生长点与固着点又是什么，搞清楚了線面垂直的来龙去脉、来源背景、生成过程和发展方向. 对学生而言，这不只有“鱼”，还有“渔”.

3. 在“问题导学”中实现认知冲突是系统思维培养的路径

布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动，思维永远是从问题开始.”在数学教学中，问题是引发学生思维与探索的向导，是学生课堂学习活动的载体，能有效激发学生的好奇心. 通过问题可以把知识的逻辑结构与学生的思维过程有机地联系起来，将知识的逻辑结构转化为学生的认知结构；通过问题能使学生主动探究、发现数学的内在规律，认识、理解数学本质.

本节课用“直线与平面垂直最为特殊”引出课题，伴以学生举例、想象和语言叙述. 注意到知识的系统与关联，强调学生已有的学习经验的作用，容易唤醒学生在直线与平面平行的学习中形成的研究经验——线面平行是从哪些方面研究的？又是怎样去研究的？从而让学生明确本节课“要研究什么”“怎样研究”，然后让学生带着这样的思维、思路开展本节课的线面垂直的研究性学习.

本节课从问题1到问题10形成了一个系统，组成了一个问题链，串联了整个教学过程，问题间相互关联，问题层次推进，充分体现了每一个问题所要探究的必要性. 通过问题驱动，立足问题解决过程，启迪并训练学生的思维，实现学生对线面垂直的定义、判定定理和性质定理的主动建构.

4. 在“试验探究”中实现思维发展是系统思维培养的手段

定理教学是数学教学的重要组成部分. 它既是概念教学的延续，又是解题教学的基础；它承上启下，关系着数学教学质量. 直线与平面垂直的判定定理的证明是以往教材中的一个教学难点，而新教材通过实验操作和直观感知，归纳得到直线与平面垂直的判定定理，这种处理方式使教学过程更加流畅，学生更容易接受.

本节课通过问题“观察跨栏架，它给了我们立柱和地面垂直的形象，你能用定义说明立柱与地面垂直吗”让学生体会用线面垂直定义去判定线面垂直的难度，使学生明白有必要寻找一个简便快捷的判定方法，从而激发学生去思考，挑起学生迫切通过具体实验操作来验证其可行性的欲望，顺其所需，一切水到渠成！

这样，从线面垂直的实际形象中猜想判定定理，通过实验操作验证，抽象归纳出判定定理. 既符合新的教学要求，又顺应学生思维发展的需要，提高了学生探究发现的能力.

作者简介：缪德军（1976—），江苏省宜兴中学副校长，中学高级教师，曾任江苏省白蒲高级中学校长，南通市首届领航校长，南通市第十六届园丁奖，南通市学科带头人，江苏省高中数学青年教师优课评比一等奖，江苏省优秀教育工作者.