［摘  要］ 如何在高三一轮复习中告别“负重低效”的学习现状？开展深度学习下的高三一轮复习可以担此重任. 文章以“裂项相消法求数列前n项和”为例，从前期分析（深度挖掘学情）、片段回顾（有序转化提升）及教学反思三方面具体阐述深度学习的可行路径.

［关键词］ 深度学习；裂项相消法；挖掘学情；有序转化

“老师，为什么可以裂成-？”

“你将式子通分逆用就会发现它们是相等的！”

“哦？！”

这是笔者和学生在“数列求和”复习课后的一段对话，望着学生那“依然困惑”的表情，听着那一声略带失望的“哦”，笔者意识到我们的课堂需要改变……

回想“数列”这一章内容，学生的新课学习在高一网课期间，这导致学生的基础不扎实，虽然在高二学考复习中也进行过模块式复习，但是由于其时间短、任务重，因此大部分学生对一些数列求和方法的掌握仍停留在“记忆—模仿—强化”的浅层学习阶段，对数列求和方法的本质知之甚少. 究其根本在于教师一味地追求教学进度而忽视探寻学生思维的起点、厘清数学问题的本质，用高密度、低思维的刷题训练取而代之，现在想来，实在不可取！

如何在高三一轮复习中告别“负重低效”的学习现状？如何让学生由浅层学习走向深度学习呢？深度学习并不是什么神秘的新创造，它是北京师范大学郭华教授对优秀教学实践与理论研究的总结、提炼与升华，界定为“在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程”［1］. 即在数学学习过程中，不仅关注知识技能“是什么”“怎么用”，还要探究知识技能的来龙去脉［2］，逐步实现学生思维的进阶. 现以“裂项相消法求数列前n项和”为例，具体阐述在高三一轮复习中追寻深度学习的可行路径.

1. 前测：挖掘学情

（1）前测设计.

为改变教师主观想象学情的习惯，特设计了课前任务单（见图1）用以了解学生对“裂项相消法求和”的现有理解状态. 该任务单由问题1和问题2两部分组成. 问题1由一组从易到难的常见的有裂项相消结构的问题组成，帮助学生重拾用裂项相消法求数列前n项和的步骤，并对学生的易错点“裂项后系数配平”“裂项相消后还剩多少项”进行了量化统计. 问题2由三道开放题组成，第②题、第③题意在挖掘平常教学中尚未发现的真问题，第①题把困难前置，打破学生的思維定式，量化统计学生对裂项相消法本质的理解.

（2）结果分析.

执教班级共40人，发放任务单40份，收回40份，结果统计（如图2所示）及分析如下：

第一，问题1的统计结果表明，常见的、简单的裂项式子，，，甚至要做适当变形的，学生完成得比较好. 对于第②题，班级只有4名学生裂项后忘记了系数乘. 但是对于学生不常见的第⑤题，正确率只有25%，主要原因有：不知道怎么裂项、裂项后哪些项要作抵消.

第二，问题2暴露了笔者意料之外的情况，解题正确并不意味着学生对数学方法真正理解，只是源于学生刷题熟练后的机械记忆. 对于第①题，35%的学生认为不能用裂项相消法求和，原因是（2n-1）不是分式形式，且｛2n-1｝是等差数列，直接用等差数列求和公式就行了；虽然65%的学生认为可以用裂项相消法求和，但没有学生给出正确解释，从学生的答题情况可以看出，很多学生尝试把（2n-1）转化成分式形式，打算裂项求解，但最终都失败了. 对于第②题，很多学生不约而同给出的是分子为1，分母上两个相乘式子的差是常数的分式，但其中可裂而不可消的式子也占35%，如等.

总之，大部分学生只有面对形如

（k为常数）的数列才能用裂项相消法求和，稍作变化就不知所措. “怎样的数列可以用裂项相消法求和”“怎样裂项”“裂项相消后还剩多少项”是大部分学生当前最难解决的思维症结.

2. 教法：深度学习

深度学习注重新知与学生已有经验的相互转化，从而使学生与知识建立意义关联［3］.

从人教A版选择性必修第二册教材看“数列”的知识脉络（见图3）可知：裂项相消法是数列求和的通性通法，其更具一般性. 从裂项相消法的角度重新审视等差数列求和、等比数列求和、差比数列求和，有助于将数列求和方法构建成有机网络，从中领悟数列求和的本质是化简，即如何将n项化为有限项，渗透化归思想，与后续利用数学归纳法及放缩法求数列前n项和一脉相承.

基于学生经验与新知脉络的分析，笔者以“裂项相消法求数列前n项和”这节复习课为教学支点，沿着“初识本质—再识本质—深识本质”的逻辑路线展开教学，不仅关注裂项相消法求和“是什么”“怎么用”，还探究裂项相消法求和的来龙去脉，帮助学生将碎片化的数列求和方法结构化，从整体视角厘清各种数列求和方法间的区别与联系，实现数列这一章节的知识网络的构建. 为此，本节课确定了以下三个教学任务.

任务1：以学前任务单问题2第②题学生的解答为情境，期望帮助学生明晰“怎样的数列可以用裂项相消法求和”，使学生初步理解裂项相消法的原理以及操作步骤.

任务2：以人教A版必修5第47页习题2.3B组第4题为资源，引领学生对“熟而不透”的数列再探，通过师生、生生的对话交流，帮助学生解决“怎样裂项”和“裂项相消后还剩多少项”的学习困惑；尝试判断、评论，使学生进一步理解裂项相消法的原理以及操作步骤.

任务3：以学前任务单问题2第①题为资源，引领学生对其进行深度探究，通过对比、交流、反思，使学生深度理解裂项相消法的原理以及操作步骤；尝试编题、交流、互评，从整体视角认识数列求和，优化知识结构.

1. 迷失概念的转化

迷失概念是概念偏离科学性获得而产生迁移（应用）障碍的一种现象. 笔者通过对学前任务单问题2第②题学生解答的整理与分析，针对学生对“怎样的数列才能用裂项相消法求和”问题的迷失，挑选出两位学生具有代表性的解答编写成问题1及递进的拓展题.

问题1 （对学前任务单问题2第②题的整理）班级有同学认为下列数列都可以用裂项相消法求和，你觉得可以吗？请说明理由！

拓展题1：请理性审视同伴对课前任务单问题2第②题作答的情况，并给予评判.

拓展题2：如何修改②③④数列，可以用裂项相消法求和？

（1）诱导思考.

多数学生对区分“怎样的数列可以用裂项相消法求和”没有十足的把握，因此将学生作答的情况作为情境，能够唤醒学生的内驱力，无论学生作对与否，都渴求知道“为什么”. 学生的探究欲被激发，思维被激活.

（2）由浅及深.

片段1 笔者请生1、生2阐明理由.

生1：都可以，因为①②③④数列的通项都是分式的形式，而且通项都可以拆分成“两项的差”

-；⑤数列的通项经过理化可得=-. 都满足裂项相消的条件.

生2：我也觉得都可以，因为它们满足两个条件，一是通项都是分式的形式，二是通项的分母都是两项相乘的形式，而且这两项的差为常数.

师：其他人有没有不同的意见呢？

生3：我觉得①⑤数列可以，但②③④数列不可以，这三个数列裂項后并不能相互抵消.

师：到底行不行呢？解答这个问题不仅需要我们动脑思考，还需要我们动笔实践.

师：它们可裂，但不能相消，为什么不能相消呢？

生4（积极举手）：数列

不能相消的原因是和不是一个新数列相邻或相间的两项，即数列

的通项不能成为一个新数列相邻或相间的两项之差. 同理数列

的通项也都不能成为一个新数列相邻或相间的两项之差. 而数列

的通项可写成新数列

的相邻两项之差-，数列

可写成新数列｛｝的相邻两项之差-，故可用裂项相消法求和.

师：非常好，你道出了裂项相消法的本质：若原数列的通项公式可裂成一个新数列相邻或相间的两项之差，则可实现相互抵消，化无限为有限. （板书）

随后笔者逐次抛出拓展题1及拓展题2，进一步提高学生的学习兴趣，学生在解释举例、区分辨别、评价创造等思维活动中，实现了对迷失概念“怎样的数列才能用裂项相消法求和”的转化. 当然，在拓展题2中，学生虽然能正确修改数列为

2. 迷失方法的转化

在高三教学中，我们对方法性问题的求解，不但要关注方法的本质，还要注重适用范围和操作步骤的探究. 在问题1中，学生初步认识了裂项相消法的原理，但对裂项相消的“源”与“流”甚是陌生. 为此，笔者设计了问题2，从知识源头帮助学生解决裂项相消法的适用范围及操作步骤等问题.

问题2 （人教A版必修5第47页习题2.3B组第4题）数列

的前n项和S=++++…+，研究一下，能否找到求S的一个公式.你能对这个问题作一些推广吗？

变式：（学前任务单问题1第⑤题）令c=，求数列｛c｝的前n项和S.

（1）思考实践，暴露思维误区.

片段2 笔者给学生充分的时间解答，问题1的错答者生2，积极要求回答问题2.

生2：现在我明白了，因为=-，所以可以写成新数列

的相邻两项之差，故用裂项相消法可得S=1-+-+-+…+-+-=1-.

师：嗯，从裂项相消法的本质进行分析，很赞！那你能对这个问题作一些推广吗？

生2：因为=-，所以可以写成新数列

的相间两项之差，用裂项相消法求得S=1-+-+-+…+-+-=1-. 类似推广，因为=-，所以可以写成新数列

的相隔两项之差，用裂项相消法求得S=1-+-+-+…+-+-=1-. 同样，形如

的数列都可以用裂项相消法求其前n项和.

（2）展示交流，提升思维品质.

师：这种裂项，谁能概括一下它的操作要领？

生6：观察分子与分母的关联性，用分母中相乘的两个因子去表示分子，蕴含着整体代换的数学思想.

师：裂项相消后，剩下多少项呢？

师生在课堂活动中建立积极、友善的心理环境，可以提升学生的学习兴趣和积极的情感体验，学生通过思考实践、展示交流、诊断评价等思维活动，自觉地融入数学，全身心地参与课堂教学. 经课堂统计发现，上述变式的正确率由课前的25%提升到了95%. 可见，学生迷失的“裂项后系数不平衡及剩下的项数”得到了转化！

3. 高阶思维的发展

深度学习的达成是学生能把新学的知识迁移到新的情境中去，将知识学“活”. 问题3以学生的优秀解答为资源，引发学生的思维在深处碰撞，打破学生的错误认知——只有通项为“分式”的数列才能用裂项相消法求和，让学生深度理解裂项相消法的本质.

问题3 （学前任务单问题2第①题）你能不能用裂项相消法求数列｛2n-1｝的前n项和？

变式题1：你能不能用裂项相消法求数列｛2n｝的前n项和？

变式题2：你能不能用裂项相消法求数列｛（2n-1）·2n｝的前n项和？

笔者以学生Z的解答过程（图5）为情境，两次引导学生进行判断、评论. 第一次，笔者适时提出问题：能否体会Z同学裂项的想法？Z同学这样裂项的依据是什么？在思维的碰撞中，学生对裂项相消法中“裂”的形式（数列通项不一定是分式的形式）和“裂”的操作步骤（a=S-S（n≥2））有了进一步的认识，同时有了探究方法普适性的诉求，即如何寻找一般数列“裂”的结果. 学生观察对比、比较反思、提炼总结出了“裂”的特征：一般的，形如｛（an+b）dn｝的数列求和，可以用待定系数法裂项. 当学生合作得出裂项相消法后，笔者第二次引导学生对学生Z的“作品”进行评议.

学生Z的解答过程得到同学充分肯定后，对自己的作答也进行了反思：我是用数感拼凑出来的“裂”的结果，但是像变式2中这样的数列就很难一眼看出结果了，现在用待定系数法很容易拼凑出“裂”的结果，使得数列求和变得更加简洁. 感觉裂项相消法适用的范围很广，是不是所有数列都可以用裂项相消法求和呢？

借着学生Z的疑问，笔者追问道：所有的数列都可以用裂项相消法求和吗？大部分学生很快就想到了已作评判的问题1，认为裂项相消法适用的范围的确很广，但并不是所有的数列都可以用裂项相消法求和，关键要看该数列能不能“裂”成一个新数列相邻或相间的两项之差. 继而，笔者给出问题链接高考，实现知识应用迁移.

1.深度学习更加注重复习教学的定位

高三一轮复习具有查漏补缺，梳理基础知识、基本技能和基本思想，构建有机网络的作用，但依靠题型堆砌的复习课很难担此重任，需要教师深度加工教学内容：将离散的知识点按一定的逻辑顺序有序联结，将知识结构化、系统化地呈现在学生面前；从学生的思维起点出发，精心设计系列阶梯式的数学活动，让学生全身心地参与其中，引领学生的思维从低级向高级进阶，使学生深刻把握问题的本质. 唯有这样，深度学习才会悄然发生：构建知识结构，拓展知识技能，感悟思想方法，提升学习能力，发展核心素养.

2.深度学习更加注重课前任务单的利用

部分教师习惯根据经验单方面地想象学生在学习中存在的困难而进行教学设计，但是他们的“盲目自信”是导致学生的学“浮”于表面、无法下“沉”的主因，使得学生只能跟着教师的想法被动地学，因此机械式记忆在所难免. 深度学习的主体是学生，教师只有根据学生已有的知识和经验去激发和引导学生学习，这样深度学习才会真正地发生. 课前任务单可以让教师真实了解学生的实际水平，明确学生能实现的发展目标. 由此，在实际水平与发展目标之间，教师利用课前任务单的反馈，设计层层递进的数学活动，让学生感受到知识与自己的关系，从而唤醒学生的思维，使其自觉地卷入数学学习，让学生的深度学习成为可能.

3.深度学习更加注重数学交流水平的提升

学会数学交流是《普通高中数学课程标准（2017年版）》的基本理念之一，也是深度学习的体现. 教师要营造民主、平等、合作的课堂氛围，给予学生敢于表达见解的机会. 为此，笔者将课堂生成（错解或优秀解答）作为教学资源，把其加工成逐级递进的探究性和开放性问题，持续引发学生积极思考与交流，鼓励学生暴露所思所想，在师生、生生间的倾听、分享、评价，以及小组交流和全班讨论中，学生片面的经验变成全面，繁杂的经验变得简约，错误的经验得以纠正，实现了深度学习.

可以说，高三每天都在和题打交道——选题、做题、讲题，但教师用题带给学生的不仅仅是分数，还有题背后的数学之美、数学之魅. 教师应不失时机地引导学生用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界，落实学生的数学学科核心素养，使数学课堂成为鲜活的、有温度的、理智与情感共存的教学阵地.

参考文献：

［1］ 郭华. 如何理解“深度学习”［J］. 四川师范大学学報（社会科学版），2020，47（01）：89-95.

［2］ 伍春兰，许绮菲. 追求深度学习的高三数学课堂实践与思考——以“离散型随机变量分布列、期望与方差”复习课为例［J］. 数学通报，2020，59（01）：19-22.

［3］ 郭华. 深度学习的五个特征［J］. 人民教育，2019（06）：76-80.

作者简介：董辉（1983—），教育硕士，高级教师，从事高中数学教学与研究工作，曾获杭州市新锐教师荣誉.