■山东省日照第一中学 张 蕾

解三角形问题是高中数学的重难点课题，不仅涉及最基础的正弦、余弦和三角形面积公式等内容，还蕴含着数形结合、分类讨论等数学思想，因此研究解三角形数学问题对提升高中生的数学核心素养具有重要意义。解三角形问题在高中数学教学中占据着重要的地位，但是目前部分高中生在正弦、余弦定理的理解和运用上存在疑惑，且不同年级的学生对解三角形的认知与运用水平存在差距。教师应当引导学生推导正弦、余弦定理，并加强解三角形题目的训练，提高学生的理解和运用能力。数学学习不只面向高考，教师还要重视对学生数学核心素养的培育，使数学核心素养成为学生拥有的基本素质。

一、解三角形的理论基础

（一）解三角形问题的概念界定

解三角形问题是数学运算中的基础问题和常见问题。对任意一个三角形而言，假设它的三个角分别是A、B、C，与三个角相对应的三条边是a、b、c，如果知道其中某些边和某些角的数值，就可以运用相关公式计算得出其他边或其他角的数值。解三角形常用到的定理有正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，这也是高中数学的核心定理。遇到解三角形的问题时，学生通常会先画出三角形，然后在边和角上标出已知量，根据数学定理解出所求量。比如，在解三角形中遇到三角函数问题时，先画出三角函数图像，并且将已知量标在上面，运用此种方法可以将复杂的问题简单化，提高学生的处理速度。解三角形问题是高中数学的必修内容，可以锻炼学生的推理能力和运算能力，常常会与三角函数和平面向量综合起来考查。在解决实际数学问题的过程中，解三角形问题常常包含在测量、航海等实际问题中。

（二）解三角形问题在高中数学中的地位

解三角形问题是《普通高中数学课程标准》中明确要求学生掌握的内容，目的在于教会学生运用公式和推理方法解决实际问题。如果学生未能深入掌握解三角形问题的精髓，而且在学习习惯上没有主动性，那么就难以全面掌握解三角形的真谛。从历年的高考数学试题来看，解三角形问题每年都在考查，分值小到5分，大到17分，是高中数学知识的一个交叉点，能够综合考查学生的理解和运用能力，因此解三角形问题越来越成为高考的热点。高中数学知识是互通的，尤其在高考综合类试题中，多个知识点相融是非常常见的，如果学生未能全面掌握解三角形知识，那么就无法解决综合类试题，这对其自身是非常不利的。

（三）关于解三角形问题的调查

解三角形问题是高中数学的基础内容，但是学生在学习过程中通常会遇到定理理解问题和综合运用问题，甚至有的学生还会产生态度问题、数学学习习惯问题等，这些问题严重阻碍了高中数学教学工作的顺利推进。对定理和公式的理解是每个学生必须掌握的能力，但是目前仍然有学生搞不清定理的推理过程，究其原因，有的学生的学习态度有问题，数学学习过程中粗心、马虎；有的学生学习主动性不强，思维没有真正打开，训练得太少，想问题时思维不灵活，由此导致解题能力弱；还有的学生记忆公式和定理很快，但是一遇到综合类问题就不清楚考查的是哪些知识点，对题意的理解还需要加强，三角形知识还需要再巩固。数学解题过程也是数学思维得到锻炼的过程，在数学教学中，许多教师特别强调数学思维能力和数学核心素养的培育，但是学生的反馈有限，解题意识和解题能力还有很大的上升空间。

二、解三角形问题的学习现状分析

（一）高中生对正弦、余弦定理的理解与运用存在问题

在高中数学教学与测试过程中发现，许多学生都知道正弦公式是a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，但是当遇到运用正弦公式将角转化为边时，有的学生不会运用，这说明学生对正弦公式的转化和换算掌握得不准确。在余弦公式cosA=（b²+c²-a²）/2bc的运用过程中发现，有的学生只是简单地记忆了余弦定理的内容，但是一遇到根据已知条件转化类题目时，就不能准确完成题目要求的内容，说明这类学生还未真正理解余弦定理。从历年的高考数学真题中不难发现，解三角形知识常常与三角函数和平面几何结合起来考查，但是由于正弦、余弦公式变换形式多样，许多学生未能掌握基本公式的多种变换形式，只掌握了最简单的定理公式。究其原因，有的学生学习习惯不好，在数学课堂上的主动性不强，对教师所讲解的知识不去深入探究，而是固守课堂内容或书本知识，时间久了就会发现这些学生的学习能力在下降。

（二）高中生对解三角形的综合运用存在问题

在综合类题目中，解三角形与立体几何、平面向量、三角函数会同时出现，考查学生的综合运用能力。在教学过程中发现，许多学生一旦遇到综合运用类的题目就犯难，大题的第一小问都能回答上来，但是第二小问就不能够完整地处理。比如，高考试题“三角形ABC中，D是BC上的点，且AD平分角BAC，BD=2DC，求sinB/sinA的值”，在这个题目的求解过程中发现，有的学生不能根据已有条件写出对应的关系式，有的学生不能根据BD=2DC的关系写出相应角的关系。在遇到一些综合类解三角形问题时，一些学生就暴露出计算能力不足的问题，这是因为学生缺乏数学整体思维，其实在解三角形的题目中，有时候不需要知道某个元素的具体值，只要把它推演为最简化的式子即可，有些学生正是缺乏整体性思维，才在解三角形问题探究中陷入迷宫。

（三）不同年级的学生对解三角形的理解与运用存在差距

在高中数学教学过程中发现，不同年级的学生对解三角形问题的理解存在差距，高一、高二年级的学生对定理的理解和记忆要比高三年级的学生强很多，但是高一、高二年级学生对定理的运用却远不如高三年级的学生。这一问题产生的原因与高中数学教学安排紧密相关，高一、高二年级学生入学后首次接触解三角形知识，还不具备整体代入思想和分类讨论思想，而且接触的解三角形题目较少，所以容易在解三角形问题上产生错误。高三学生接触解三角形问题的时间较长，因此对某些定理和公式存在记忆混淆，这是在所难免的，但是高三学生却能够解答出解三角形类的题目，这是因为高三学生训练得多，遇到的题目类型多，解题能力自然要比高一和高二学生略高一筹。

三、高中生解三角形问题的对策研究

（一）引导学生自主推导正弦、余弦定理

教师是解三角形问题的引导者和助推者，为了帮助学生更好地理解正弦和余弦定理，教师可以引导学生自主推导正弦定理和余弦定理，让学生亲身经历数学知识的形成过程、探究体验数学的发现和创造历程，为学生参与知识的“再创造”打下基础。教师要善于运用最直白、最简洁的话语来演示公式推导过程，让更多学生听得懂、能理解。

众所周知，三角形的形状有三种，分别是直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。首先，直角三角形，在直角三角形中学生曾经学过三条边的关系是a2+b2=c2，还有sinA=a/c,sinB=b/c，sinC=c/c，将sinA=a/c,sinB=b/c，sinC=c/c中的c提取出来，就可以得出c=a/sinA,c=b/sinB,c=c/sinC，此时就可以得到直角三角形的正弦定理。

其次，在锐角三角形中也是如此，沿着锐角三角形的顶点向下作垂线，与底边垂直，在锐角三角形中学生曾经学过CD=asinB，CD=bsinA，由此可以得出a/sinA=b/sinB，所以就有了a/sinA=b/sinB=c/sinC。如图1所示。

图1

最后，在钝角三角形中，沿着一边角作垂直与底边的高线，学生曾经学过在钝角三角形中CD=asin∠CBD=asin∠ABC，CD=bsinA。由此可以得出a/sinA=b/sin∠ABC，推导出a/sinA=b/sinB=c/sinC。如此反复，通过画图引导学生推理正弦定理和余弦定理，帮助学生理解公式的推导过程，能够加深学生对公式的记忆。

（二）加强对解三角形问题题目的训练

由于解三角形问题常常会与其他数学知识点综合起来考查，因此教师在教学过程中应当加强其他数学知识点的训练，如加强对三角函数、平面向量、立体几何的复习，不断提醒学生，巩固学生的数学基础知识。在解三角形问题的过程中，有时遇到的题目很长，学生需要耐心地读完，必要的情况下要在草稿纸上多演算几遍，不能因为题目太长就马虎大意，要端正学习态度，认真审题，多动手找一找、画一画。

加强学生的解题能力需要学生做典型性的题目，在这个过程中，教师可以将历年的高考真题打包，由学生独立完成，并给予学生必要的指导。比如在数学题目计算过程中，教师可以提示学生下一步该用什么方法，哪些地方需要再回过头检验一遍，教师在学生做题过程中对一些细节多提示，学生就会树立起解题的信心。分类讨论思维是学生在解三角形中必须具备的能力，在数学课堂中，无论在课堂讲解还是课后巩固环节，教师都要有意识地渗透分类讨论思想并加以强调。比如，教师根据已有的题目进行变式，让学生找到不同试题的突破口，再由学生独自完成，学生遇到难点可以提问教师，如此反复训练，分类讨论思想就会逐渐形成。

整体代入解题技巧在解三角形题目中经常会遇到，许多学生对整体代入解题技巧掌握得不够牢固，运用时不是很灵活，那么教师在教学过程中要特别强调公式之间的联系，耐心演示和推导，学生再进行多次练习，就会有所收获。比如，教师在教学过程中要提示学生观察一下化简后的式子与题目中的式子有什么关系，还要提示学生有什么其他发现，如此灌输整体代入思想，学生就会有所进步。在解三角形问题的过程中，教师要重视对学生进行题目训练，同时选择有代表性的题目来讲解，并且多鼓励学生，激发学生的学习自信心。

（三）针对不同年级学生采取不同的教学方式

不同年级的学生对解三角形问题有不同程度的理解，由于这种差异，教师应该因材施教，即不同的年级采取不同的教学方式。高一学生刚学习解三角形的知识，在讲课之前，教师要考虑学生原有的认知结构，并根据其认知结构提前准备一段引导性材料。例如，讲解正弦定理前引入直角三角形，让学生自己动手操作，找规律，之后教师归纳正弦定理。再如，讲解完正弦定理后就练习正弦定理的知识，讲解完余弦定理后便练习余弦定理的知识，讲解完三角形知识后，将所学的解三角形知识同化或顺应学生的原有认知结构，从而得到新的认知结构。

高二学生已经学习过解三角形知识，所以教师应该更加侧重巩固解三角形的基础知识，帮助学生回忆已有的解三角形知识，并特意强调正弦定理公式，避免有的学生因为正弦定理公式记忆错误而出错。

高三学生已经熟悉解三角形知识，并且熟练掌握了解三角形知识的能力。教师需要进一步加大解三角形知识的训练，让学生采取不同的方法解题，找到最优的解题方法，使学生更好地对解三角形问题进行分析和转化。

四、结语

解三角形问题在高中数学中起到承上启下、拓展延伸的作用，是高中数学的核心知识，学习和训练解三角形可以提高学生的数学逻辑思维和数学核心素养。学生在解三角形的问题中容易产生定理性错误和运算性错误，加强学生对定理、概念的理解，灵活采取不同的训练方式是解决数学问题的主要策略。除此之外，针对不同学生的不同错误类型，教师应当采取不同的纠错策略，以帮助学生规避错误，使学生对解三角形问题的理解更深入、全面。