冯东榆 庄鸿新

2023年10月27日，第十届“新课堂·新教师”海峡两岸基础教育交流研讨活动在福建省石狮市举行。福州市鼓楼区教师进修学校叶育新老师为与会代表展示人教版五上“数学广角——植树问题”的教学。

教学片段一：化繁为简，自主生成

课件展示校园植树情境。

有一条小路长200米，在小路一边每间隔5米种一棵树，一共要种几棵树？

师：请你猜一猜，一共可以种几棵树？

生反馈：40棵，41棵。

师：我在其他班上课的时候还有同学说种了39棵，先来说说是怎么得到种40棵树的想法呢？

生：小路长200米，每隔5米种一棵树，一共可以种40棵，小路的终点不种树，就是40棵树。

师：40棵树是怎么得到的呢？

生：200除以5等于40。

师：小路每隔5米种一棵树，5米是树间距，全长200米除以间距5米等于40，40表示什么意思呢？

生：40表示树的数量。

师：每隔5米种一棵树，全长200米除以间距5米等于40，表示有40个间隔，40是间隔数，而我们要求的是树的棵数，这个问题需要我们继续研究。同样是在200米的小路上种树，为什么种树的棵数不相同呢？

生：他们种树的情况不一样，41棵是路的起点和终点都种树了，40棵是只有起点或者终点种树。

师：在小路的一边植树有几种情况呢？

生：有4种情况，第一种是小路的起点植树，终点不植树；第二种是小路的终点植树，起点不植树；第三种是小路的起点和终点都植树；还有一种是小路的起点和终点都不植树。

师：还有同学有不同意见吗？来说说你的想法。

生：我覺得应该只有三种不同的植树情况，因为小路的起点植树、终点不植树和在小路的终点植树、起点不植树这两种情况是一样的，只能算一种。

师：说得很精彩，植树的方式是不一样的，在路的起点植树、终点不植树和在路的终点植树、起点不植树这两种情况是一样的，属于只种一端；这条路的起点和终点都植树，属于两端都种；这条路的起点和终点都不植树，属于两端都不种。（课件图略）

【赏析】叶老师通过在具体的现实生活情境中抽象出开放性的数学问题，引导学生积极主动地去“猜一猜”，学生基于已有的“包含除”知识基础和实际生活经验，在思考、分析、交流中由浅入深地探究植树问题几种不同的植树情况。整个过程中，叶老师没有刻意引导学生思考“间隔、间隔数和棵数”之间的关系，让学生对已有的经验性理解进行改造和提炼，获得了对植树问题不同情况的概念性理解。

教学片段二：自主探究，建构模型

叶老师展示学习单，布置学习小组分别对三种情况进行探究。

活动要求：

1.先画一画，选择一条全长（10米、15米、20米、25米……）的小路画出示意图。

2.再填一填，寻找其中的规律。

3.想一想，互相说一说。

①我发现，在（ ）情况下，植树棵数可以这么求：植树棵树＝                  。

②你能说说这是为什么吗？（可借助刚才的画图说明道理，和周边同学先互相说一说）

学生进行小组活动，教师巡视指导。

第四小组学生汇报。

生：我们组选择全长20米的小路进行画图探究只种一端的情况，它可能是起点种，终点不种；也可能是起点不种，终点种。

师：你们有什么发现呢？借助你画的图来说一说。

生：从图1中，我们可以看到，20米长的小路每隔5米种一棵树，20÷5=4（个），有4个间隔，只种一端的情况下，20米长的小路种4棵树。

师：20÷5=4（个），既然是4个间隔，为什么是种了4棵树呢？能结合图说清楚你的想法吗？

生：这种情况是只种一端，我们可以终点种、起点不种，在图中就是一个间隔种了一棵树，一个间隔又种了一棵树，一共是4个间隔，就种了4棵树。

师：20米长的小路探究完了，长10米、15米、25米的小路在只种一端的这种情况下是怎样的呢？

生：在表格中，全长10米的小路，10÷5=2（个），有2个间隔，因为只种一端，植树棵数是2棵；全长15米的小路，15÷5=3（个），有3个间隔，植树棵数也是3棵；最后全长25米的小路，25÷5=5（个），有5个间隔，植树棵数也是5棵。（表格略）

师：你有什么发现？

生：我发现尽管小路的长度不一样，但是在只种一端的情况下，间隔数都等于树的棵数。

师：为什么“间隔数=树的棵数”，你能进一步解释一下吗？

生（结合图示说明，图略）：只种一端，我们可以先看起点种、终点不种的情况，在图中，一棵树对应着一个间隔，一棵树对应着一个间隔……最后每棵树都对应着一个间隔，所以间隔数=树的棵数。

师：你的想法真精彩，原来在只种一端的情况下，每个间隔都对应着一棵树，间隔数和棵数是一一对应的，那植树棵数怎么求呢？

生：间隔数=全长÷间距，树的棵数=全长÷间距。

【赏析】虽然植树问题的三种情况各有不同，但本质是一样的，教学时都是引导学生通过“一一对应”理解间隔数和棵数之间的关系，从而建立数学模型。在上述片段中，叶老师给予了学生充足的时间以小组合作探究的形式对植树问题中的只种一端情况展开学习。学生用画线段关系图的方式从简单的问题开始探究，充分理解间隔数与棵数之间的关系。学生借助直观的表格探索“只种一端”的规律，发现间隔数和树的棵数相等的关系，再次理解一个间隔对应着一棵树，从而建立起只种一端情况下的数学模型，就此向学生渗透“一一对应”的数学思想。

教学片段三：模型识别，迁移类推

师：原来植树当中还有那么多的规律，现在就让我们带着规律去解决问题吧。（习题略）

师：这道题属于我们今天学习的植树问题三个类型中的哪一类？你觉得题目中哪些地方需要注意？自己动手算一下。

师：在植树问题中，一定要是“树”吗？除了“树”，还能换成别的事物吗？

教师出示图片：福州地铁一号线，有纽扣的衬衫，整齐排列的礼炮与士兵。

师：你能发现这里面有植树问题吗？把什么看作是树？

生：地铁站可以看作树，纽扣可以看作树，礼炮也可以看作树。

【赏析】在习题环节，叶老师通过引导学生将所学知识进行应用、小结、发散，解决教材例题1至3，以及练习中的习题，加强对植树问题模型的概念性理解，并以点到面拓展应用。本课尾声，叶老师提出“在植树问题中，一定要是‘树吗”，在师生的精彩问答中激活学生的发散思维，顺势丰富植树模型内涵，以“树”为支点，巧妙激起学生对“间隔数”类型问题的研究兴趣。

［作者单位：广东省深圳市宝安小学（集团）罗租小学 广东省深圳市新安中学（集团）外国语学校 责任编辑：王彬］